Problema 7
Algebră
Mediu
Sesiunea Specială 2025
Doi copii, Alin și Ioana, au fiecare câte un coș cu alune. Dacă Alin ar primi de la Ioana 4 alune, atunci Ioana ar avea de 3 ori mai multe alune decât Alin.
2p
a) Este posibil ca Ioana să aibă în coș exact 45 de alune? Justifică răspunsul dat.
3p
b) Dacă Ioana ar primi de la Alin două alune, atunci Alin ar avea de 6 ori mai puține alune decât Ioana. Determină numărul alunelor din coșul Ioanei.
✏️ Rezolvare
Notații și relații
Fie \( a \) = alunele lui Alin, \( i \) = alunele Ioanei.
Din enunț: \( i - 4 = 3(a + 4) \implies \boxed{i = 3a + 16} \quad (1) \)
a) Este posibil i = 45? (2p)
1
Calculăm \( a \) corespunzător și verificăm dacă este număr natural
\( 3a + 16 = 45 \implies 3a = 29 \implies a = \dfrac{29}{3} \approx 9{,}6 \)
\( a \) nu este număr natural — situația nu este posibilă.
Nu este posibil: dacă \( i = 45 \), atunci \( a = \dfrac{29}{3} \),
care nu este număr natural.
b) Determinăm numărul alunelor Ioanei (3p)
1
Ioana primește 2 de la Alin → Alin are de 6 ori mai puține
\( a - 2 = \dfrac{i + 2}{6} \implies 6(a-2) = i + 2 \implies \boxed{i = 6a - 14} \quad (2) \)
2
Egalăm expresiile lui \( i \) din (1) și (2)
\( 3a + 16 = 6a - 14 \implies 3a = 30 \implies a = 10 \text{ alune} \)
3
Calculăm numărul alunelor Ioanei
\( i = 3 \cdot 10 + 16 = \boxed{46 \text{ alune}} \)
4
Verificare
(1): Alin +4, Ioana −4: \( 14 \) și \( 42 \). \( 42 = 3 \times 14 \) ✅
(2): Ioana +2, Alin −2: \( 8 \) și \( 48 \). \( 8 = 48 \div 6 \) ✅
Ioana are \( i = \mathbf{46} \) alune în coș.
💡 Strategii pentru probleme cu transferuri de obiecte
💡
Citește cu atenție cine dă și cine primește în fiecare condiție
(1): Ioana dă → Ioana scade, Alin crește. (2): Alin dă → Alin scade, Ioana crește.
💡
Exprimi \( i \) în funcție de \( a \) din prima condiție → înlocuiești în a doua
\( i = 3a + 16 \) și \( i = 6a - 14 \) → sistem cu soluție unică.
💡
La a): calculezi \( a \) și verifici dacă este număr natural
\( a = 29/3 \) nu este întreg → Ioana nu poate avea exact 45 de alune.
⚠️
„Alin are de 6 ori mai puține decât Ioana" → \( a - 2 = \frac{i+2}{6} \)
Alin este cel mai mic. Nu inversa: nu \( i + 2 = \frac{a-2}{6} \).