Problema 8 — Subiectul III.1 (PDF)

Problema 8 Algebră Mediu Model 2024

📋 Enunț

Mihai a cheltuit o sumă de bani în patru zile. În prima zi a cheltuit 20% din întreaga sumă, în a doua zi 30% din suma rămasă, în a treia zi cu 20 de lei mai mult decât a doua zi, iar în a patra zi a cheltuit ultimii 44 de lei.

2p a) Verifică dacă Mihai a cheltuit în a doua zi un sfert din întreaga sumă de bani. Justifică răspunsul dat.

3p b) Determină suma de bani cheltuită de Mihai, în total, în cele patru zile.

✏️ Rezolvare

Cheltuielile pe zile (în funcție de S = suma totală)

\( z_1 = 20\% \cdot S = \dfrac{S}{5} \) → rămâne \( \dfrac{4S}{5} \)

\( z_2 = 30\% \cdot \dfrac{4S}{5} = \dfrac{6S}{25} \) · \( z_3 = z_2 + 20 \) · \( z_4 = 44 \) lei

a) Este z₂ un sfert din S? (2p)

Calculăm ce procent din S reprezintă \( z_2 \)

\( z_2 = \dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{4S}{5} = \dfrac{12S}{50} = \dfrac{6S}{25} = 24\% \cdot S \)

Comparăm cu un sfert

Un sfert din \( S \) = \( 25\% \cdot S \). Deoarece \( 24\% \neq 25\% \), răspunsul este nu.

Nu: Mihai a cheltuit în ziua 2 exact \( 24\% \) din suma totală, nu un sfert (\( 25\% \)).

b) Determinăm suma totală S (3p)

Ecuația: \( z_1 + z_2 + z_3 + z_4 = S \)

\( \dfrac{S}{5} + \dfrac{6S}{25} + \left(\dfrac{6S}{25} + 20\right) + 44 = S \)

Grupăm termenii cu S (numitor comun 25)

\( \dfrac{5S + 6S + 6S}{25} + 64 = S \implies \dfrac{17S}{25} + 64 = S \)

Rezolvăm

\( 64 = S - \dfrac{17S}{25} = \dfrac{8S}{25} \implies S = \dfrac{64 \times 25}{8} = \boxed{200 \text{ lei}} \)

Verificare

\( z_1 = 40 \), \( z_2 = 48 \), \( z_3 = 68 \), \( z_4 = 44 \)

\( 40 + 48 + 68 + 44 = 200 \) ✅

Mihai a cheltuit în total \( S = \mathbf{200} \) lei în cele patru zile.

💡 Strategii pentru probleme cu cheltuieli în procente

💡

30% din suma rămasă ≠ 30% din suma totală

\( z_2 = 30\% \cdot 80\% \cdot S = 24\% \cdot S \) — procentul se aplică la ce a rămas.

💡

La a): compari procentul real al lui \( z_2 \) cu \( \frac{1}{4} = 25\% \)

\( 24\% \neq 25\% \) → concluzia e validă indiferent de valoarea lui \( S \).

💡

La b): scrii \( z_1 + z_2 + z_3 + z_4 = S \) și rezolvi în \( S \)

Aduci la numitor comun 25, grupezi termenii cu \( S \), izolezi.

⚠️

Verificarea — calculează fiecare \( z_i \) și suma lor

\( 40 + 48 + 68 + 44 = 200 \) — confirmă că \( S = 200 \) lei este corect.