Maria aranjează cărțile din bibliotecă și observă că dacă le grupează câte 8, câte 12 sau câte 18 îi rămân de fiecare dată 5 cărți.
Fie \( n \) = numărul de cărți. La împărțirea prin 8, 12 sau 18, restul este mereu 5.
Deci \( n - 5 \) este multiplu nenul al lui \( \text{cmmmc}(8, 12, 18) \), adică \( n = 72k + 5 \), \( k \in \mathbb{N}^* \).
\( 53 = 8 \cdot 6 + 5 \) ✅ \( 53 = 12 \cdot 4 + 5 \) ✅
\( 53 = 18 \cdot 2 + 17 \) — restul este \( 17 \neq 5 \) ✗
\( 53 - 5 = 48 < 72 \) → 48 nu este multiplu nenul de 72 → imposibil.
\( 8 = 2^3,\quad 12 = 2^2 \cdot 3,\quad 18 = 2 \cdot 3^2 \implies \text{cmmmc} = 2^3 \cdot 3^2 = 72 \)
\( n = 72k + 5 \): \( k=1 \to 77 \) (două cifre) · \( k=2 \to \boxed{149} \) (trei cifre ✓)
\( 149 = 8 \cdot 18 + 5 \) ✅ \( 149 = 12 \cdot 12 + 5 \) ✅ \( 149 = 18 \cdot 8 + 5 \) ✅
Dacă la 8, 12, 18 restul e mereu 5 → \( n - 5 \) e multiplu nenul de \( \text{cmmmc}(8,12,18) = 72 \).
\( 53 - 5 = 48 < 72 \) → nu poate fi multiplu nenul de 72 (primul multiplu nenul este chiar 72).
\( k=1: 77 \) (două cifre) · \( k=2: 149 \) ✓ — primul cu trei cifre.
\( 8 = 2^3,\ 12 = 2^2 \cdot 3,\ 18 = 2 \cdot 3^2 \implies \text{cmmmc}(8,12,18) = 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72 \)