Problema 14
Algebră
Mediu
Examen 2023
Maria are 14 ani și tatăl ei are 40 de ani.
2p
a) Este posibil ca, peste 2 ani, suma dintre vârsta Mariei și vârsta tatălui ei să fie egală cu 60 de ani? Justifică răspunsul dat.
3p
b) Determină peste câți ani vârsta Mariei va fi jumătate din vârsta tatălui ei.
✏️ Rezolvare
Notații
Fie \( x \) = numărul de ani care trebuie să treacă.
Vârsta Mariei peste \(x\) ani: \( 14 + x \) | Vârsta tatălui peste \(x\) ani: \( 40 + x \)
a) Este posibil ca suma vârstelor peste 2 ani = 60? (2p)
1
Calculăm vârstele și suma lor peste 2 ani
Maria: \(14 + 2 = 16\) ani | Tatăl: \(40 + 2 = 42\) ani
Suma: \(16 + 42 = 58 \neq 60\)
Nu este posibil. Suma vârstelor peste 2 ani este \(58 \neq 60\).
b) Peste câți ani vârsta Mariei = jumătate din vârsta tatălui? (3p)
1
Scriem ecuația
\( 14 + x = \dfrac{1}{2}(40 + x) \implies 28 + 2x = 40 + x \)
2
Rezolvăm
\( 2x - x = 40 - 28 \implies \boxed{x = 12 \text{ ani}} \)
3
Verificare
Peste 12 ani: Maria = 26 ani, tatăl = 52 ani. \( 52 \div 2 = 26 \) ✅
Peste 12 ani, vârsta Mariei (26 ani) va fi jumătate din vârsta tatălui (52 ani).
💡 Strategii pentru probleme cu vârste
💡
La a): calculezi direct vârstele peste 2 ani și suma lor
16 + 42 = 58 ≠ 60 → imposibil. Nu rezolvi ecuații.
💡
La b): ambele vârste cresc cu același \(x\)
Maria: \(14+x\), tatăl: \(40+x\). Condiție: \(14+x = \frac{1}{2}(40+x)\).
⚠️
Diferența de vârstă rămâne constantă: 40 − 14 = 26 ani
Tatăl va fi mereu cu 26 de ani mai în vârstă decât Maria.