Problema 16 — Subiectul III.1 (PDF)

Problema 16 Cmmmc Mediu Model 2022

📋 Enunț

Radu are o pungă cu bomboane. Dacă împarte bomboanele din pungă în grupe de câte 7, de câte 14, respectiv de câte 21, îi rămân de fiecare dată 5 bomboane.

2p a) Este posibil ca Radu să aibă exact 61 de bomboane în pungă? Justifică răspunsul dat.

3p b) Determină numărul de bomboane din pungă, știind că acesta este cel mai mic număr de trei cifre care îndeplinește condițiile din enunț.

✏️ Rezolvare

Notații și relații

Fie \( n \) = numărul de bomboane. Condiție: \( n \) împărțit la 7, 14 și 21 dă restul 5.

Echivalent: \( n - 5 \) este divizibil cu 7, 14 și 21, deci cu \(\text{cmmmc}(7, 14, 21)\).

a) Este posibil ca număr bomboane = 61? (2p)

Verificăm restul lui 61 la împărțirea prin 21

\( 61 = 21 \times 2 + 19 \) → restul este 19 ≠ 5

Nu este posibil. \(61 \div 21\) dă restul 19 ≠ 5, deci 61 nu îndeplinește condițiile.

b) Cel mai mic număr de trei cifre (3p)

Calculăm \(\text{cmmmc}(7, 14, 21)\)

\( \text{cmmmc}(7, 14, 21) = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42 \)

Forma generală: \( n = 42k + 5 \), \( k \in \mathbb{N} \).

Găsim cel mai mic număr de trei cifre

\( 42k + 5 \geq 100 \implies k \geq 2{,}26 \implies k = 3 \implies n = 42 \cdot 3 + 5 = \boxed{131} \)

Verificare

\(131 \div 7 = 18\) rest \(5\) ✅ | \(131 \div 14 = 9\) rest \(5\) ✅ | \(131 \div 21 = 6\) rest \(5\) ✅

Cel mai mic număr de trei cifre care îndeplinește condițiile este 131 de bomboane.

💡 Strategii pentru probleme cu rest la împărțire

💡

La a): verifici direct restul la împărțire

\(61 \div 21\) dă rest 19 ≠ 5 → imposibil. Nu ai nevoie de cmmmc.

💡

Același rest la mai mulți divizori → \(n - \text{rest}\) e multiplu de cmmmc

\(n - 5\) este multiplu de \(\text{cmmmc}(7, 14, 21) = 42\) → \(n = 42k + 5\).

⚠️

„Cel mai mic număr de trei cifre" nu înseamnă 100

100 nu e de forma \(42k+5\). Cauți primul \(k\) pentru care \(42k+5 \geq 100\), adică \(k=3\), \(n=131\).