Problema 1 — Subiectul III.2 (PDF)

Problema 1 Algebră Dificil Model Oficial 2026

📋 Enunț

Se consideră expresia \(\displaystyle E(x) = \frac{3}{x^2+6x+9} \cdot \frac{x}{x-3} : \left(\frac{1}{x+3} + \frac{3}{x^2-9}\right)\), unde \(x\) este număr real, \(x \neq -3\), \(x \neq 0\) și \(x \neq 3\).

2p a) Arată că \(\dfrac{1}{x+3} + \dfrac{3}{x^2-9} = \dfrac{x}{(x-3)(x+3)}\), pentru orice număr real \(x\), \(x \neq -3\) și \(x \neq 3\).

3p b) Arată că numărul \(N = \dfrac{1}{E(n)} + \dfrac{1}{E(n+1)} + \dfrac{1}{E(n+2)}\) este natural, pentru orice număr natural \(n\), \(n > 3\).

✏️ Rezolvare

Condiții de existență și observații

\(x \in \mathbb{R}\), \(x \neq -3\), \(x \neq 0\), \(x \neq 3\).

Observație: \(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\) și \(x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2\).

a) Demonstrarea identității (2p)

Factorizăm \(x^2-9\) și identificăm numitorul comun

\( x^2-9=(x-3)(x+3) \) — numitorul comun este \((x-3)(x+3)\).

Aducem la același numitor și simplificăm

\(\displaystyle \frac{1}{x+3}+\frac{3}{x^2-9} = \frac{x-3}{(x-3)(x+3)}+\frac{3}{(x-3)(x+3)} = \frac{(x-3)+3}{(x-3)(x+3)} = \frac{x}{(x-3)(x+3)}\)

\(\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{3}{x^2-9}=\dfrac{x}{(x-3)(x+3)}\) ✅

b) Arătăm că \(N\) este număr natural (3p)

Simplificăm \(E(x)\) folosind rezultatul de la a)

\(\displaystyle E(x) = \frac{3}{(x+3)^2} \cdot \frac{x}{x-3} \cdot \frac{(x-3)(x+3)}{x} = \frac{3(x+3)}{(x+3)^2} = \frac{3}{x+3}\)

Calculăm inversele

\(\dfrac{1}{E(n)}=\dfrac{n+3}{3}\), \(\dfrac{1}{E(n+1)}=\dfrac{n+4}{3}\), \(\dfrac{1}{E(n+2)}=\dfrac{n+5}{3}\)

Calculăm \(N\)

\(\displaystyle N = \frac{n+3}{3}+\frac{n+4}{3}+\frac{n+5}{3} = \frac{3n+12}{3} = n+4\)

Concluzie

Deoarece \(n \in \mathbb{N}\) cu \(n > 3\), rezultă că \(n+4 \in \mathbb{N}\). ✅

\( N = n + 4 \) este număr natural pentru orice \(n \in \mathbb{N}\), \(n > 3\).

💡 Strategii pentru fracții algebrice

💡

Factorizează numitorii înainte de orice altceva

\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\): \(x^2-9=(x-3)(x+3)\), \(x^2+6x+9=(x+3)^2\).

💡

Folosește rezultatul de la a) la punctul b)

Suma din paranteză la împărțire este exact expresia simplificată la a) — înlocuiește direct.

💡

Împărțirea la o fracție = înmulțire cu inversul

Simplificați factorii comuni \(x\) și \((x-3)\) înainte de a înmulți — calculul devine imediat.

⚠️

Simplificările sunt valide doar în condițiile de existență

Menționează \(x \neq 0\) și \(x \neq 3\) atunci când simplifici \(x\), respectiv \((x-3)\).