Problema 3 — Subiectul III.2 (PDF)

Problema 3 Algebră Mediu Model 2025

📋 Enunț

Se consideră expresia \(\displaystyle E(x) = \left(\frac{x+4}{x-3} - \frac{x-3}{x+4} + \frac{49}{x^2+x-12}\right) : \frac{7}{x-3}\), unde \(x \in \mathbb{R}\), \(x \neq -4\), \(x \neq 3\).

2p a) Arată că \(x^2+x-12=(x-3)(x+4)\), pentru orice număr real \(x\).

3p b) Arată că \(N = \sqrt{E(2)+E(4)+E(6)+\cdots+E(16)}\) este număr natural.

✏️ Rezolvare

Condiții de existență

\(x \neq -4\), \(x \neq 3\). Numitor comun în paranteză: \(x^2+x-12=(x-3)(x+4)\).

a) Demonstrarea identității (2p)

Calculăm produsul din membrul drept

\((x-3)(x+4) = x^2+4x-3x-12 = x^2+x-12\) ✅

Egalitatea este demonstrată pentru orice \(x \in \mathbb{R}\).

b) Arătăm că \(N\) este natural (3p)

Numitorul comun în paranteză este \((x-3)(x+4)\)

\(\displaystyle \frac{(x+4)^2-(x-3)^2+49}{(x-3)(x+4)}\)

Calculăm numărătorul

\((x^2+8x+16)-(x^2-6x+9)+49 = 14x+56 = 14(x+4)\)

Simplificăm \(E(x)\)

\(\displaystyle E(x) = \frac{14(x+4)}{(x-3)(x+4)} \cdot \frac{x-3}{7} = \frac{14}{7} = 2\)

Calculăm suma — \(x \in \{2,4,6,8,10,12,14,16\}\), 8 termeni

\(E(2)+E(4)+\cdots+E(16) = \underbrace{2+2+\cdots+2}_{8} = 16\)

Calculăm \(N\)

\(N = \sqrt{16} = 4 \in \mathbb{N}\) ✅

\(N = 4\) este număr natural.

💡 Strategii

💡

Dacă \(E(x)\) este constantă, suma = număr de termeni × constanta

Odată ce \(E(x)=2\), suma devine \(8\times 2=16\) — nu mai calculezi individual.

💡

Numărul de termeni: \(\frac{a_n-a_1}{r}+1\)

\(\frac{16-2}{2}+1=8\). Nu uita \(+1\)!

⚠️

\(\sqrt{n} \in \mathbb{N}\) doar dacă \(n\) este pătrat perfect

Asigură-te că suma iese exact \(1, 4, 9, 16, 25\ldots\) — nu lăsa calcule aproximative.