Se consideră expresia \(\displaystyle E(x) = \left(\frac{x-1}{x+1} + \frac{x+1}{x-1} - 2\right) : \frac{4}{x^2+x-2}\), unde \(x\) este număr real, \(x \neq -2\), \(x \neq -1\) și \(x \neq 1\).
\(x \neq -2,\; x \neq -1,\; x \neq 1\). \(x^2-1 = (x-1)(x+1)\). \(x^2+x-2 = (x-1)(x+2)\) (din punctul a).
\((x-1)(x+2) = x \cdot x + x \cdot 2 - 1 \cdot x - 1 \cdot 2 = x^2+2x-x-2 = x^2+x-2\)
\(\displaystyle \frac{x-1}{x+1}+\frac{x+1}{x-1}-2 = \frac{(x-1)^2+(x+1)^2-2(x+1)(x-1)}{x^2-1}\)
\(\displaystyle = \frac{x^2-2x+1+x^2+2x+1-2(x^2-1)}{x^2-1} = \frac{2x^2+2-2x^2+2}{x^2-1} = \frac{4}{x^2-1}\)
\(\displaystyle E(x) = \frac{4}{x^2-1} : \frac{4}{x^2+x-2} = \frac{4}{x^2-1} \cdot \frac{x^2+x-2}{4} = \frac{x^2+x-2}{x^2-1}\)
\(\displaystyle E(x) = \frac{(x-1)(x+2)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x+2}{x+1}\)
\(E(2)=\dfrac{4}{3},\quad E(3)=\dfrac{5}{4},\quad E(4)=\dfrac{6}{5},\quad \ldots,\quad E(9)=\dfrac{11}{10},\quad E(10)=\dfrac{12}{11}\)
\(\displaystyle P = \frac{4}{3}\cdot\frac{5}{4}\cdot\frac{6}{5}\cdots\frac{11}{10}\cdot\frac{12}{11} = \frac{12}{3} = 4\) (produs telescopic: fiecare numărător se simplifică cu numitorul următor)
\(\displaystyle N = \sqrt{P} = \sqrt{4} = 2 \in \mathbb{N}\)
Suma cu 3 termeni se simplifică mult dacă aduci totul la numitorul \((x-1)(x+1)\).
Identitatea \(x^2+x-2=(x-1)(x+2)\) permite simplificarea cu \((x-1)\) din numitor.
\(\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{5}{4}\cdot\dfrac{6}{5}\cdots\dfrac{12}{11} = \dfrac{12}{3} = 4\). Rămân doar primul numitor și ultimul numărător.
\(x \neq -2,\ x \neq -1,\ x \neq 1\). Valorile \(x \in \{2,3,\ldots,10\}\) satisfac toate aceste condiții.