Se consideră expresia \[ E(x) = \left(\frac{2}{x-3} - \frac{3}{x} + \frac{2}{x+3}\right) : \frac{1}{x^2-3x}, \] unde \(x\) este număr real, \(x \neq -3\), \(x \neq 0\) și \(x \neq 3\).
Numitor comun: \(x(x-3)(x+3)\)
\(\dfrac{2}{x-3}\) se amplifică cu \(x(x+3)\) → \(2x(x+3)\)
\(\dfrac{3}{x}\) se amplifică cu \((x-3)(x+3) = x^2-9\) → \(3(x^2-9)\)
\(\dfrac{2}{x+3}\) se amplifică cu \(x(x-3)\) → \(2x(x-3)\)
\[ 2x(x+3) - 3(x^2-9) + 2x(x-3) = 2x^2+6x - 3x^2+27 + 2x^2-6x = x^2+27 \]
\[ E(x) = \frac{x^2+27}{x(x-3)(x+3)} \cdot x(x-3) = \frac{x^2+27}{x+3} \]
\[ \frac{n^2+27}{n+3} > 6 \]
Deoarece \(n \geq 1\), avem \(n+3 \geq 4 > 0\). Înmulțim cu \((n+3)\):
\[ n^2+27 > 6n+18 \]
\[ n^2-6n+9 > 0 \;\iff\; (n-3)^2 > 0 \]
Deoarece \(n \neq 3\), avem \(n-3 \neq 0\), deci \((n-3)^2 > 0\). ✅
\(x-3\), \(x\), \(x+3\) sunt coprimi doi câte doi → CMMMC = \(x(x-3)(x+3)\)
Împărțirea la \(\tfrac{1}{x(x-3)}\) devine înmulțire cu \(x(x-3)\), care simplifică numitorul.
\(E(n)>6 \iff (n-3)^2>0\). Recunoașterea trinomului \(n^2-6n+9=(n-3)^2\) este cheia.
\(n \in \mathbb{N}\), \(n \neq 0 \Rightarrow n \geq 1 \Rightarrow n+3 \geq 4 > 0\). Fără această justificare, înmulțirea e incompletă.