Se consideră expresia \[ E(x) = \left(\frac{1}{x^2-4} + \frac{1}{x+2}\right) : \frac{1}{x^3-4x}, \] unde \(x\) este număr real, \(x \neq 0\), \(x \neq -2\) și \(x \neq 2\).
\(x^2-4 = (x-2)(x+2)\). Numitor comun: \((x-2)(x+2)\).
Amplificăm \(\dfrac{1}{x+2}\) cu \((x-2)\):
\[ \frac{1}{(x-2)(x+2)} + \frac{x-2}{(x+2)(x-2)} \]
\[ \frac{1+(x-2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{x-1}{(x+2)(x-2)} \]
\(x^3-4x = x(x-2)(x+2)\). Împărțirea la \(\dfrac{1}{x(x-2)(x+2)}\) devine înmulțire:
\[ E(x) = \frac{x-1}{(x-2)(x+2)} \cdot x(x-2)(x+2) = x(x-1) = x^2-x \]
\[ E(\sqrt{2}-1) = (\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-2) = 2-2\sqrt{2}-\sqrt{2}+2 = 4-3\sqrt{2} \]
\[ E(\sqrt{2}+1) = (\sqrt{2}+1)\cdot\sqrt{2} = 2+\sqrt{2} \]
\[ N = (4-3\sqrt{2}) + 3(2+\sqrt{2}) = 4-3\sqrt{2}+6+3\sqrt{2} = 10 \]
Recunoașterea acestei forme este prima etapă și deschide calea către numitorul comun.
Simplificarea integrală cu numitorul duce la forma polinomială simplă \(E(x) = x^2-x\).
\(-3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 0\). Coeficienții \(3\) din fața lui \(E(\sqrt{2}+1)\) sunt aleși exact pentru această anulare.
\(\sqrt{2}-1 \approx 0.41 \neq 0,\pm 2\) și \(\sqrt{2}+1 \approx 2.41 \neq 0,\pm 2\). Ambele valori sunt admise.