Problema 8 — Subiectul III.2 PDF

✏️ Enunț

Se consideră expresia \[ E(x) = \left(\frac{x}{9+3x} - \frac{2}{x+3} + \frac{3}{x^2+3x}\right) : \left(\frac{x}{3} + \frac{3}{x} - 2\right), \] unde \(x \in \mathbb{R}\), \(x \neq -3\), \(x \neq 0\), \(x \neq 3\).

2p a) Arată că \(\dfrac{x}{9+3x} - \dfrac{2}{x+3} + \dfrac{3}{x^2+3x} = \dfrac{(x-3)^2}{3x(x+3)}\), pentru orice număr real \(x\), \(x \neq -3\), \(x \neq 0\).

3p b) Determină numărul natural \(n\) pentru care \(5 \cdot E(n)\) este număr natural.

✏️ Rezolvare

a) Demonstrarea egalității (2p)

Factorizăm numitorii și aducem la CMMMC = \(3x(x+3)\)

\(9+3x = 3(x+3)\), \quad \(x^2+3x = x(x+3)\).

\[ \frac{x^2}{3x(x+3)} - \frac{6x}{3x(x+3)} + \frac{9}{3x(x+3)} = \frac{x^2-6x+9}{3x(x+3)} = \frac{(x-3)^2}{3x(x+3)} \]

\(\dfrac{x}{9+3x} - \dfrac{2}{x+3} + \dfrac{3}{x^2+3x} = \dfrac{(x-3)^2}{3x(x+3)}\) ✅

b) Determinăm \(n \in \mathbb{N}\) cu \(5 \cdot E(n) \in \mathbb{N}\) (3p)

Simplificăm al doilea factor

\[ \frac{x}{3} + \frac{3}{x} - 2 = \frac{x^2+9-6x}{3x} = \frac{(x-3)^2}{3x} \]

Calculăm \(E(x)\) — simplificăm \((x-3)^2\) și \(3x\)

\[ E(x) = \frac{(x-3)^2}{3x(x+3)} \cdot \frac{3x}{(x-3)^2} = \frac{1}{x+3} \]

Aplicăm condiția \(\dfrac{5}{n+3} \in \mathbb{N}\) → \((n+3) \mid 5\)

Divizorii naturali ai lui \(5\): \(\mathcal{D}_5 = \{1, 5\}\), deci \((n+3) \in \{1, 5\}\).

Cazul 1: \(n+3=1 \Rightarrow n=-2 \notin \mathbb{N}\). ✗

Cazul 2: \(n+3=5 \Rightarrow n=2 \in \mathbb{N}\), \(2 \neq -3, 0, 3\). ✓

Verificare: \(5 \cdot E(2) = \dfrac{5}{5} = 1 \in \mathbb{N}\). ✓

Singurul număr natural \(n\) pentru care \(5 \cdot E(n)\) este număr natural este \(\boldsymbol{n = 2}\). ✅

💡 Strategii

💡

Ambele paranteze dau \((x-3)^2\) la numărător — se simplifică complet

Prima paranteză: \(\dfrac{(x-3)^2}{3x(x+3)}\). A doua: \(\dfrac{(x-3)^2}{3x}\). Simplificarea duce la \(E(x) = \dfrac{1}{x+3}\).

💡

\(\dfrac{5}{n+3} \in \mathbb{N}\) ↔ \((n+3)\) divide \(5\)

\(5\) este număr prim, deci are doar doi divizori naturali: \(1\) și \(5\). Cazul \(n+3=1\) dă \(n=-2\) care nu e natural.

⚠️

Nu uita că \(E(x)\) nu e definit pentru \(x = 3\)

Când simplificăm \((x-3)^2\), presupunem \(x \neq 3\). Condiția de existență exclude \(x=3\), deci simplificarea e corectă.