Problema 9 — Subiectul III.2 PDF

✏️ Enunț

Se consideră expresia \(E(x) = (2x+3)^2 + (x-2)(x+2) - 3(1-x) + 2\), unde \(x\) este număr real.

2p a) Arată că \(E(0) = 4\).

3p b) Arată că numărul \(N = E(n) + 6\) este divizibil cu \(10\), pentru orice număr natural \(n\).

✏️ Rezolvare

a) Arată că \(E(0) = 4\) (2p)

Înlocuim \(x = 0\) și calculăm fiecare termen

\(E(0) = (2\cdot 0+3)^2 + (0-2)(0+2) - 3(1-0) + 2 = 9 + (-4) + (-3) + 2 = 4\)

\(E(0) = 9 - 4 - 3 + 2 = 4\) ✅

b) Demonstrăm că \(10 \mid N\) pentru orice \(n \in \mathbb{N}\) (3p)

Simplificăm \(E(x)\) desfăcând parantezele

\[ E(x) = (4x^2+12x+9) + (x^2-4) + (-3+3x) + 2 = 5x^2+15x+4 \]

Calculăm \(N = E(n)+6\) și factorizăm

\[ N = 5n^2+15n+4+6 = 5n^2+15n+10 = 5(n^2+3n+2) = 5(n+1)(n+2) \]

Analizăm divizibilitatea cu \(10 = 2 \cdot 5\)

Cu 5: \(N\) conține factorul \(5\). ✓

Cu 2: \((n+1)\) și \((n+2)\) sunt numere consecutive → unul este par → \(2 \mid (n+1)(n+2)\). ✓

Deoarece \(\text{cmmdc}(2,5)=1\): \(2 \mid N\) și \(5 \mid N\) ⟹ \(10 \mid N\).

\(N = 5(n+1)(n+2)\) este divizibil cu \(10\) pentru orice \(n \in \mathbb{N}\). ✅

💡 Strategii

💡

Simplifică \(E(x)\) general înainte să calculezi \(N\)

Obții \(5x^2+15x+4\), adaugi 6 și factorizezi ușor \(5n^2+15n+10 = 5(n+1)(n+2)\).

💡

Factorizarea \(n^2+3n+2\): caută două numere cu produs 2 și sumă 3

Sunt \(1\) și \(2\), deci \(n^2+3n+2 = (n+1)(n+2)\).

💡

Produsul a două numere consecutive este par

Dintre \(n+1\) și \(n+2\), unul este par → \(2 \mid (n+1)(n+2)\). Combinat cu factorul \(5\) → \(10 \mid N\).