Subiectul III.3 — Problema 1
Model 2026 · Funcție liniară — grafic și triunghi isoscel · Nivel: Ușor
Enunț
Se consideră funcția \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ f(x) = 2x + 4\).
a) Arată că \(f(2) + f(-2) = 8\).
b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției \(f\) intersectează axele \(Ox\) și \(Oy\) în punctele \(A\), respectiv \(B\). Arată că unghiurile \(\angle BAM\) și \(\angle MBA\) sunt congruente, știind că \(M(3,\,0)\).
Figura 1.1
Indicații
a) Înlocuiește \(x = 2\) și \(x = -2\) în expresia funcției și calculează suma.
b) Determină coordonatele \(A\) și \(B\) din condițiile de intersecție cu axele. Calculează \(AM\) și \(BM\) cu formula distanței. Dacă \(AM = BM\), triunghiul \(ABM\) este isoscel și unghiurile de la bază sunt congruente.
Rezolvare
a) Calculul valorilor funcției
\[ f(2) = 2 \cdot 2 + 4 = 8 \]
\[ f(-2) = 2 \cdot (-2) + 4 = 0 \]
\[ f(2) + f(-2) = 8 + 0 = 8 \quad \checkmark \]
b) Demonstrarea congruenței unghiurilor
Pas 1 — Determinarea coordonatelor punctelor \(A\) și \(B\)
\[ A \in Ox \Rightarrow f(x) = 0 \Rightarrow 2x + 4 = 0 \Rightarrow x = -2 \Rightarrow A(-2,\;0) \]
\[ B \in Oy \Rightarrow x = 0 \Rightarrow f(0) = 2 \cdot 0 + 4 = 4 \Rightarrow B(0,\;4) \]
Pas 2 — Calculul lungimilor \(AM\) și \(BM\)
📐 Formula distanței dintre două puncte
\[ d(P_1, P_2) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
\[ AM = |x_M - x_A| = |3 - (-2)| = 5 \]
\[ BM = \sqrt{(x_M - x_B)^2 + (y_M - y_B)^2} = \sqrt{(3-0)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
Pas 3 — Concluzie: \(\triangle ABM\) isoscel
Deoarece \(AM = BM = 5\), triunghiul \(ABM\) este isoscel cu baza \(AB\).
Într-un triunghi isoscel, unghiurile de la bază sunt congruente:
\[ \angle BAM \equiv \angle MBA \quad \checkmark \]
