Subiectul III.3 — Problema 2
Simulare 2026 · Sistem de axe, distanțe și punct echidistant · Nivel: Mediu
Enunț
În sistemul de axe ortogonale \(xOy\) se consideră punctele \(A(2,\,0)\) și \(B(10,\,4)\).
a) Arată că \(AB = 4\sqrt{5}\).
b) Determină coordonatele punctului \(M\), situat pe axa \(Ox\), aflat la distanțe egale față de punctele \(A\) și \(B\).
Indicații
a) Aplică formula distanței dintre două puncte pentru \(A(2,\,0)\) și \(B(10,\,4)\) și scoate factori de sub radical.
b) Scrie \(M(m,\,0)\) deoarece \(M \in Ox\). Impune condiția \(MA = MB\), ridică la pătrat și rezolvă ecuația în \(m\).
Rezolvare
a) Calculul lungimii \(AB\)
📐 Formula distanței dintre două puncte
\[ d(P_1, P_2) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
\[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(10-2)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} \]
\[ \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5} \quad \checkmark \]
b) Determinarea coordonatelor punctului \(M\)
Pas 1 — Scrierea coordonatelor lui \(M\)
\[ M \in Ox \Rightarrow M(m,\; 0), \quad m \in \mathbb{R} \]
Pas 2 — Condiția \(MA = MB\)
\[ MA = |m - 2|, \qquad MB = \sqrt{(m-10)^2 + 16} \]
\[ MA = MB \Leftrightarrow MA^2 = MB^2 \]
\[ (m-2)^2 = (m-10)^2 + 16 \]
\[ m^2 - 4m + 4 = m^2 - 20m + 100 + 16 \]
\[ 16m = 112 \Rightarrow m = 7 \]
Pas 3 — Concluzie
\[ M(7,\; 0) \]
Verificare: \(MA = |7-2| = 5\), \quad \(MB = \sqrt{(7-10)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{9+16} = 5 \quad \checkmark\)
