Subiectul III.3 — Problema 3
Model 2025 · Funcție liniară — calculul unui produs de valori și aria triunghiului · Nivel: Mediu
Enunț
Se consideră funcția \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ f(x) = 2x - 6\).
a) Arată că \(f(3) \cdot f(2025) = 0\).
b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției \(f\) intersectează axele \(Ox\) și \(Oy\) ale sistemului de axe ortogonale \(xOy\) în punctele \(A\), respectiv \(B\). Determină aria triunghiului \(ABM\), unde punctul \(M\) este simetricul punctului \(A\) față de punctul \(O\).
Indicații
a) Calculează \(f(3)\) și \(f(2025)\) separat și arată că unul dintre rezultate este \(0\).
b) Determină coordonatele punctelor \(A\) și \(B\) din condițiile de intersecție cu axele. Calculează coordonatele lui \(M\) folosind proprietatea de simetrie față de origine. Aplică formula ariei triunghiului cu baza pe \(Ox\).
Rezolvare
a) Calculul valorilor funcției
\[ f(3) = 2 \cdot 3 - 6 = 6 - 6 = 0 \]
\[ f(2025) = 2 \cdot 2025 - 6 = 4050 - 6 = 4044 \]
\[ f(3) \cdot f(2025) = 0 \cdot 4044 = 0 \quad \checkmark \]
b) Aria triunghiului \(ABM\)
Pas 1 — Determină coordonatele punctelor \(A\) și \(B\)
\[ A \in Ox \Rightarrow f(x) = 0 \Rightarrow 2x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3 \Rightarrow A(3,\;0) \]
\[ B \in Oy \Rightarrow x = 0 \Rightarrow f(0) = 2 \cdot 0 - 6 = -6 \Rightarrow B(0,\;-6) \]
Pas 2 — Coordonatele punctului \(M\)
📐 Simetricul față de origine
Dacă \(P(a, b)\), atunci simetricul față de \(O\) este \(P'(-a, -b)\).
\[ A(3,\;0) \xrightarrow{\text{simetrie față de } O} M(-3,\;0) \]
Pas 3 — Calculul ariei
\[ AM = |3 - (-3)| = 6, \qquad h = |-6| = 6 \]
\[ \mathcal{A}_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18 \]
