Subiectul III.3 — Problema 4
Simulare 2025 · Calculul lungimii \(AB\) și distanța de la un punct la o dreaptă · Nivel: Mediu
Enunț
În sistemul de axe ortogonale \(xOy\) se consideră punctele \(A(2,\,0)\) și \(B(6,\,3)\).
a) Arată că \(AB = 5\).
b) Calculează distanța de la punctul \(M(5,\,0)\) la dreapta \(AB\).
Indicații
a) Aplică formula distanței dintre două puncte pentru \(A(2,\,0)\) și \(B(6,\,3)\) și scoate factori de sub radical.
b) Calculează aria triunghiului \(ABM\) folosind baza \(AM\) pe \(Ox\) și înălțimea din \(B\). Scrie aceeași arie cu baza \(AB\) și deduci distanța de la \(M\) la dreapta \(AB\).
Rezolvare
a) Calculul lungimii \(AB\)
📐 Formula distanței dintre două puncte
\[ d(P_1, P_2) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
\[ AB = \sqrt{(6-2)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \quad \checkmark \]
b) Distanța de la \(M(5,\,0)\) la dreapta \(AB\)
Pas 1 — Calculul ariei triunghiului \(ABM\)
\[ AM = |5 - 2| = 3 \]
\[ h = 3 \quad \text{(înălțimea din } B \text{ pe } Ox\text{)} \]
\[ \mathcal{A}_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2} \]
Pas 2 — Deducerea distanței \(d(M, AB)\)
\[ \mathcal{A}_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot d(M,\,AB) \]
\[ \frac{9}{2} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot d(M,\,AB) \Rightarrow d(M,\,AB) = \frac{9}{5} \]
\[ d(M,\, AB) = \frac{9}{5} \]
