Subiectul III.3 — Problema 5
Sesiunea Specială 2025 · Funcție liniară și calculul lungimii unei mediane · Nivel: Mediu
Enunț
Se consideră funcția \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ f(x) = \dfrac{1}{2}x - 2\).
a) Arată că \(f(4) \cdot f(6) = 0\).
b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției \(f\) intersectează axele \(Ox\) și \(Oy\) în punctele \(A\), respectiv \(B\). Calculează lungimea medianei din \(C\) a triunghiului \(ABC\), unde \(C(0,\,3)\).
Indicații
a) Calculează \(f(4)\) și \(f(6)\) separat și arată că unul dintre rezultate este \(0\).
b) Determină coordonatele punctelor \(A\) și \(B\) din condițiile de intersecție cu axele. Determină coordonatele mijlocului \(M\) al segmentului \(AB\). Calculează lungimea medianei \(CM\).
Rezolvare
a) Demonstrarea egalității \(f(4) \cdot f(6) = 0\)
\[ f(4) = \frac{1}{2} \cdot 4 - 2 = 2 - 2 = 0 \]
\[ f(6) = \frac{1}{2} \cdot 6 - 2 = 3 - 2 = 1 \]
\[ f(4) \cdot f(6) = 0 \cdot 1 = 0 \quad \checkmark \]
b) Lungimea medianei din \(C\) a triunghiului \(ABC\)
Pas 1 — Coordonatele punctelor \(A\) și \(B\)
\[ A \in Ox \Rightarrow f(x) = 0 \Rightarrow \frac{1}{2}x - 2 = 0 \Rightarrow x = 4 \Rightarrow A(4,\;0) \]
\[ B \in Oy \Rightarrow x = 0 \Rightarrow f(0) = -2 \Rightarrow B(0,\;-2) \]
Pas 2 — Mijlocul \(M\) al segmentului \(AB\)
📐 Formula coordonatelor mijlocului unui segment
\[ M\!\left(\frac{x_1+x_2}{2},\;\frac{y_1+y_2}{2}\right) \]
\[ M = \left(\frac{4+0}{2},\;\frac{0+(-2)}{2}\right) = (2,\;-1) \]
Pas 3 — Lungimea medianei \(CM\)
📐 Formula distanței dintre două puncte
\[ d(P_1, P_2) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
\[ CM = \sqrt{(2-0)^2 + (-1-3)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5} \]
\[ CM = 2\sqrt{5} \]
