Ne jucăm și gândim! — Clasa a V-a | Lecția 1 — Jocuri matematice
Prof. Micu Elena Semnătura: Micu Elena

Lecția 1: Jocuri matematice — Poziții câștigătoare și pierzătoare

III. Jocuri matematice · Clasa a V-a

Regulile generale

Jocurile pe care le considerăm sunt pentru doi jucători $A_1$ și $A_2$, care fac pe rând câte o mutare. Un jucător pierde când nu mai poate face nicio mutare. Ambii jucători joacă fără greșeală.

POZIȚII CÂȘTIGĂTOARE ȘI PIERZĂTOARE

C = poziție Câștigătoare → jucătorul care urmează să mute câștigă (dacă joacă corect)

P = poziție Pierzătoare → jucătorul care urmează să mute pierde (dacă adversarul joacă corect)

Cele 3 reguli

1
Poziția fără nicio mutare posibilă este P.
2
O poziție este C dacă există cel puțin o mutare spre o poziție P.
3
O poziție este P dacă orice mutare duce la o poziție C.

Exemple rezolvate

E1) Jocul cu pietre — iei 1 sau 2, ultimul câștigă

Pe masă sunt $n$ pietre. Se iau pe rând $1$ sau $2$. Cine ia ultima câștigă.

$n$0123456789
PozițiePCCPCCPCCP

Tipar: P la multiplii lui $3$. $A_1$ câștigă dacă $n$ nu e multiplu de $3$; altfel câștigă $A_2$.

E2) Jocul numerelor — cine ajunge la 20?

Pornim de la $0$, adăugăm pe rând $1$, $2$ sau $3$. Cine ajunge la $20$ câștigă.

1
Pozițiile P: $0, 4, 8, 12, 16, 20$ — multipli de $4$.
2
$0$ este P → $A_1$ este în dezavantaj → $A_2$ câștigă. Strategia $A_2$: completează mereu suma celor două mutări la $4$.

E3) Iei 1 sau 2, dar ultimul pierde

Pe masă sunt $n$ pietre. Se iau $1$ sau $2$. Cine ia ultima piatră pierde.

$n$1234567
PozițiePCCPCCP

P la $1, 4, 7, \ldots$ (rest $1$ la împărțirea cu $3$).

E4) Joc cu două grămezi

Două grămezi: $5$ și $3$ pietre. Se ia oricât dintr-o singură grămadă. Ultimul câștigă.

1
$(a,b)$ este P dacă și numai dacă $a = b$. Altfel este C.
2
$(5, 3)$: $5 \neq 3$ → C. $A_1$ ia $2$ din prima → $(3,3)$ (P). $A_1$ câștigă.

E5) Joc cu paritate — numerele 1 la 50

Numerele $1$–$50$ pe tablă. Jucătorii șterg câte două și scriu suma. Pierde cel forțat să scrie o sumă impară.

1
Jocul are exact $\mathbf{49}$ mutări (50 numere → 1 număr, câte $-1$ pe mutare).
2
La start: $25$ numere impare. Mutările sigure (par+par sau impar+impar) schimbă numărul de impare cu $0$ sau $-2$ → rămâne mereu impar.
3
Mutarea $49$ (cu număr impar de ordine) o face $A_1$. La acel moment, există exact $1$ impar și $1$ par → $A_1$ e forțat să scrie impar → $A_1$ pierde. $A_2$ câștigă.

Atenție!

Metoda C/P funcționează pentru orice joc finit fără remiză. Cheia este să găsești tiparul pozițiilor P — legat de un invariant (paritate, rest la împărțire, egalitate).

Temă

Vă rog să scrieți și enunțul problemelor propuse spre rezolvare!

1. $12$ pietre, se iau $1$, $2$ sau $3$. Cine ia ultima câștigă. Cine câștigă?

Indiciu: tabelul C/P; tiparul se repetă la fiecare $4$.

2. Pornim de la $0$, adăugăm $1$, $2$ sau $3$. Cine ajunge la $30$ câștigă. Cine câștigă?

Indiciu: pozițiile P sunt multiplii lui $4$.

3. $10$ pietre, se iau $1$, $2$ sau $3$. Cine ia ultima pierde. Cine câștigă?

Indiciu: tabelul C/P cu regula inversată.

4. Două grămezi: $7$ și $4$ pietre. Se ia oricât dintr-o singură grămadă. Cine ia ultima câștigă. Cine câștigă?

Indiciu: când sunt grămezile egale?

5. (Provocare) Numerele $1$–$100$. Jucătorii șterg câte două și scriu suma. Pierde cel forțat să scrie impar. Cine câștigă?

Indiciu: câte numere impare sunt? Câte mutări? Cine face ultima?

Indicații

1. P la $0, 4, 8, 12$ → $A_1$ pornește de la $12$ (P) → $A_2$ câștigă.

2. P la $0, 4, 8, \ldots$ → $0$ este P → $A_2$ câștigă. $A_2$ completează mereu la multiplu de $4$.

3. P la $1, 5, 9$ (rest $1$ mod $4$). $10$ lasă rest $2$ → C → $A_1$ câștigă. Ia $1$ → $9$ (P).

4. $(7,4)$: inegale → C. $A_1$ ia $3$ din prima → $(4,4)$ (P) → $A_1$ câștigă.

5. $50$ impare (par!). $99$ mutări → mutarea $99$ = $A_1$ (impar). Dar $50$ e par → paritatea impare rămâne pară prin mutări sigure → la final $0$ impare (sau $2$ impare). Dacă $0$ impare: 2 pare → par+par = par → cineva scrie par și nu pierde. Hmm, mai fin: cu $50$ impare (număr par), prin mutări sigure se ajunge la $0$ impare. Cu $0$ impare: toți parii, orice doi pari → par, nimeni nu e forțat. Deci jocul se termină cu ultimul număr. $99$ mutări → $A_1$ face ultima mutare (a 99-a) → $A_1$ nu mai are ce muta → $A_1$ pierde → $A_2$ câștigă.