Lecția 2. Principiul cutiei — Clasa a V-a (PDF)

Prof. Micu Elena

Lecția 2: Ne jucăm și gândim! — Principiul cutiei

II. Principii și metode de rezolvare a problemelor de matematică · Clasa a V-a

Principiul cutiei ne spune că, dacă distribui mai multe obiecte decât cutii disponibile, cel puțin o cutie va conține obligatoriu mai mult de un obiect. Acesta garantează existența unei anumite situații, fără a o construi explicit.

PRINCIPIUL CUTIEI

Forma de bază

Dacă distribui $n + 1$ obiecte în $n$ cutii, atunci cel puțin una dintre cutii conține cel puțin $2$ obiecte.

Forma generalizată

Dacă numărul de obiecte este mai mare decât numărul de cutii, împărțim numărul de obiecte ($m$) la numărul de cutii ($n$) și obținem câtul $c$ și restul $r$:

Dacă restul este zero: cel puțin o cutie conține cel puțin $c$ obiecte.
Dacă restul este nenul: cel puțin o cutie conține cel puțin $c + 1$ obiecte.

Ex.: $30$ elevi, $4$ anotimpuri. $30 : 4 = 7$ rest $2$. Restul este nenul, deci cel puțin un anotimp are $\geq 8$ elevi.

Ce formulă folosesc?

Cel puțin 2 de același fel (din $n$ categorii): scot $n + 1$ obiecte. Ex: 5 culori → 6 creioane.

Cel puțin $k$ de același fel (din $n$ categorii): scot $n(k-1)+1$ obiecte. Ex: 4 culori, vreau 3 → $4\times2+1=9$ bile.

Câte garantate în cutia cea mai aglomerată ($m$ ob., $n$ cutii)? Calculez $m:n$ → câtul $c$, restul $r$:

— restul este zero: cel puțin $c$ obiecte într-o cutie (ex: $12:4=3$ rest $0$ → cel puțin $3$)

— restul este nenul: cel puțin $c+1$ obiecte într-o cutie (ex: $30:4=7$ rest $2$ → cel puțin $8$)

Exemple rezolvate

E1) Creioane de 5 culori

Câte creioane trebuie să scoatem dintr-un penar (fără să privim) pentru a fi siguri că avem cel puțin 2 de aceeași culoare?

Cutiile: cele $5$ culori. Cel mai rău caz: $1$ din fiecare = $5$ creioane, toate diferite.

Al $6$-lea creion scos repetă o culoare.

$5 + 1 = \mathbf{6}$ creioane.

E2) Elevi și luni

Arătați că într-o clasă de 13 elevi, cel puțin 2 s-au născut în aceeași lună.

$12$ luni (cutii), $13$ elevi (obiecte). $13 > 12 \Rightarrow$ cel puțin o lună are $\geq 2$ elevi. $\blacksquare$

E3) Numere de o cifră

Scriem 11 numere între 0 și 9. Arătați că cel puțin 2 sunt egale.

$10$ valori posibile (cutii), $11$ numere (obiecte). $11 > 10 \Rightarrow$ cel puțin $2$ egale. $\blacksquare$

E4) Bile de 4 culori — cel puțin 3 de aceeași culoare

Câte bile trebuie să scoatem pentru a garanta cel puțin 3 de aceeași culoare?

Cel mai rău caz: câte $2$ din fiecare culoare = $4 \times 2 = 8$ bile.

A $9$-a bilă garantează $3$ dintr-o culoare.

$4 \times (3-1) + 1 = \mathbf{9}$ bile.

E5) Cărți de joc (4 culori)

Câte cărți tragem pentru a garanta 2 de aceeași culoare? Dar 5?

$\geq 2$: $4 + 1 = \mathbf{5}$ cărți.

$\geq 5$: $4 \times (5-1) + 1 = \mathbf{17}$ cărți.

E6) Zilele săptămânii

Arătați că dintr-un grup de 8 persoane, cel puțin 2 s-au născut în aceeași zi a săptămânii.

$7$ zile (cutii), $8$ persoane (obiecte). $8 > 7 \Rightarrow$ cel puțin $2$ în aceeași zi. $\blacksquare$

E7) Clasa și anotimpurile

O clasă are 30 de elevi. Arătați că cel puțin 8 s-au născut în același anotimp.

$4$ anotimpuri, $30$ elevi. Dacă fiecare anotimp ar avea $\leq 7$ elevi, total $\leq 28 < 30$. Contradicție!

Deci cel puțin un anotimp are $\geq 8$ elevi. ($30 : 4 = 7$ rest $2$, deci $7 + 1 = 8$.) $\blacksquare$

Atenție!

Principiul cutiei garantează existența, nu care cutie este plină. Identificați corect cutiile și obiectele înainte de a aplica principiul.

Temă (de realizat pe caietul de clasă)

Vă rog să scrieți și enunțul problemelor propuse spre rezolvare!

1. Câte carioci trebuie să scoatem dintr-un penar cu carioci de $8$ culori pentru a fi siguri că avem cel puțin $2$ de aceeași culoare?

2. Arătați că dintr-un grup de $10$ copii, cel puțin $2$ s-au născut în același anotimp.

Indiciu: există $4$ anotimpuri; $10 > 4$.

3. Câte bile trebuie să scoatem dintr-o urnă cu bile de $6$ culori pentru a fi siguri că avem cel puțin $4$ bile de aceeași culoare?

Indiciu: $n(k-1)+1$ cu $n=6$, $k=4$.

4. Arătați că dacă scriem $366$ numere naturale, fiecare cuprins între $1$ și $365$, atunci cel puțin $2$ dintre ele sunt egale.

5. Avem $25$ elevi. Arătați că cel puțin $3$ s-au născut în același trimestru al anului. ($4$ trimestre.)

Indiciu: dacă fiecare trimestru ar avea $\leq 2$ elevi, câți elevi ar fi total?

6. (Provocare) Câte creioane scoatem dintr-o cutie cu $7$ culori pentru a garanta cel puțin $3$ de aceeași culoare?

Indicații

1. $8 + 1 = 9$. 2. $10 > 4$, cutii = $4$ anotimpuri. 3. $6 \times 3 + 1 = 19$. 4. $366 > 365$.

5. $4 \times 2 = 8 < 25$, deci cel puțin $3$ într-un trimestru. 6. $7 \times (3-1)+1 = 15$ creioane.