Lecția 4. Principiul invariantului

Prof. Micu Elena

Lecția 4: Ne jucăm și gândim! — Principiul invariantului

II. Principii și metode de rezolvare a problemelor de matematică · Clasa a V-a

Există situații în care, indiferent câte operații aplicăm, o anumită cantitate nu se schimbă niciodată. Această cantitate se numește invariant. Dacă știm valoarea invariantului la început, o cunoaștem și la orice pas ulterior — și în particular la final. Dacă situația la care vrem să ajungem ar necesita o altă valoare a invariantului, înseamnă că situația este imposibilă.

CE ESTE UN INVARIANT?

Definiție

Un invariant este o cantitate (număr, proprietate) care rămâne neschimbată la fiecare pas al unui proces, indiferent de alegerile făcute.

Principiul invariantului — cum îl aplicăm

Identificăm o cantitate care ar putea rămâne invariantă: suma, produsul, restul la împărțire etc.

Calculăm valoarea invariantului la situația inițială.

Verificăm că se păstrează la fiecare pas al procesului.

Concluzionăm: dacă situația finală dorită ar necesita o altă valoare → imposibil; dacă valoarea se potrivește → posibil.

Invarianți frecvenți la clasa a V-a

Invariant	Când apare	Exemplu de operație
Suma	Ștergem $a, b$ și scriem $a+b$	Suma rămâne aceeași
Produsul	Ștergem $a, b$ și scriem $a \times b$	Produsul rămâne același
Restul împărțirii	Adunăm multipli ai unui număr fix	Restul la împărțirea cu acel număr rămâne
Paritatea	Adunăm numere pare	Par/impar rămâne neschimbat

Paritatea (Lecția 3) este un caz special al invariantului: urmărim restul la împărțirea cu $2$.

Exemple rezolvate

E1) Suma — ce număr rămâne la final?

Pe tablă sunt scrise numerele $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$. La fiecare pas, ștergem două numere și scriem în loc suma lor. La final rămâne un singur număr. Care este acesta?

Invariantul: suma tuturor numerelor de pe tablă. Când ștergem $a$ și $b$ și scriem $a+b$, suma nu se schimbă.

Suma inițială: $1+2+3+4+5+6+7 = 28$.

Suma se păstrează la fiecare pas → suma finală este tot $28$. La final e un singur număr, deci acela este suma.

Numărul final este întotdeauna $28$, indiferent de ordine. $\blacksquare$

E2) Produsul — ce număr rămâne la final?

Pe tablă sunt scrise numerele $1, 2, 3, 4, 5$. La fiecare pas, ștergem două numere și scriem în loc produsul lor. La final rămâne un singur număr. Care este acesta?

Invariantul: produsul tuturor numerelor. Când ștergem $a$ și $b$ și scriem $a \times b$, produsul total rămâne același.

Produsul inițial: $1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120$.

Produsul se păstrează → numărul final este $120$.

Numărul final este întotdeauna $120$. $\blacksquare$

E3) Suma crește cu o valoare fixă — imposibilitate

Pe tablă sunt scrise numerele $1, 2, 3, 4, 5$. La fiecare pas, alegem un număr și îi adunăm $4$. Poate deveni suma tuturor numerelor de pe tablă egală cu $30$?

Suma inițială: $1+2+3+4+5 = 15$. La fiecare pas, suma crește cu exact $4$.

Sumele posibile: $15,\ 19,\ 23,\ 27,\ 31,\ \ldots$ — adică $15 + 4k$ pentru $k = 0, 1, 2, \ldots$

Poate $15 + 4k = 30$? Atunci $4k = 15$. Dar $15$ nu se împarte exact la $4$ (restul este $3$). Imposibil!

Suma $30$ nu poate fi atinsă. $\blacksquare$

Suma $31$ este posibilă: $15 + 4 \times 4 = 31$. Suma $27$: $15 + 4 \times 3 = 27$. ✓

E4) Suma scade cu o valoare fixă — ce număr rămâne?

Pe tablă sunt scrise numerele $2, 5, 8$ ($3$ numere). La fiecare pas, ștergem două numere $a$ și $b$ și scriem în loc $a + b - 1$. Ce număr rămâne la final?

Suma inițială: $2 + 5 + 8 = 15$. La fiecare pas înlocuim $a$ și $b$ cu $a+b-1$: suma scade cu $a+b-(a+b-1) = 1$. Deci suma scade cu $\mathbf{1}$ la fiecare pas.

Pornim cu $3$ numere. Facem $2$ pași pentru a rămâne cu $1$ număr. Suma scade de $2$ ori cu $1$: $15 - 2 = 13$.

La final rămâne un singur număr, egal cu suma finală.

Numărul final este întotdeauna $13$, indiferent de ordine. $\blacksquare$

Verificare: $(2+5-1) = 6$, apoi $6+8-1 = 13$. ✓ sau: $(5+8-1)=12$, $2+12-1=13$. ✓

E5) Restul împărțirii — invariant de poziție

Un pion se află pe numărul $1$ al axei numerelor. La fiecare pas, poate avansa cu $3$ sau cu $6$ poziții. Poate ajunge pe numărul $15$? Dar pe numărul $13$?

Invariantul: restul la împărțirea cu $3$. Atât $3$ cât și $6$ sunt multipli ai lui $3$, deci adăugarea lor nu schimbă restul la împărțirea cu $3$ al poziției.

Poziția inițială: $1$. Restul lui $1$ la împărțirea cu $3$ este $1$. Deci pionul se va afla mereu pe o poziție cu restul $1$ la împărțirea cu $3$: $1, 4, 7, 10, 13, 16, \ldots$

Numărul $15$: $15 : 3 = 5$ rest $0$. Restul este $0 \neq 1$. Imposibil!

Numărul $13$: $13 : 3 = 4$ rest $1$. Restul este $1 = 1$. Posibil! Traseul: $1 \to 4 \to 7 \to 13$ (adăugăm $3, 3, 6$). ✓

Pionul poate ajunge pe $13$, dar nu poate ajunge pe $15$. $\blacksquare$

E6) Paritatea ca invariant — legătura cu Lecția 3

Pe tablă sunt scrise $5$ numere impare. La fiecare pas, ștergem două numere și scriem suma lor. Arătați că numărul final este impar.

Invariantul: suma tuturor numerelor. Operația de înlocuire a lui $a, b$ cu $a+b$ o păstrează.

Suma inițială a $5$ numere impare: $5$ este impar → suma este impară (Lecția 3).

Suma se păstrează → numărul final egal cu suma inițială → impar.

Numărul final este întotdeauna impar. $\blacksquare$

Concluzie generală: Paritatea (Lecția 3) este un caz special al principiului invariantului — urmărim restul la împărțirea cu $2$.

Atenție!

Găsirea invariantului potrivit este partea creativă a problemei. Nu există o rețetă universală — exersarea pe exemple este cheia. Cele mai folosite: suma, produsul, restul împărțirii și paritatea.

Temă (de realizat pe caietul de clasă)

Vă rog să scrieți și enunțul problemelor propuse spre rezolvare!

1. Pe tablă sunt scrise numerele $1, 2, 3, \ldots, 10$. La fiecare pas, ștergem două numere și scriem suma lor. Ce număr rămâne la final?

2. Pe tablă sunt scrise numerele $2, 3, 4, 5, 6$. La fiecare pas, ștergem două numere și scriem produsul lor. Ce număr rămâne la final?

3. Numerele $1, 2, 3, 4, 5$ sunt pe tablă. La fiecare pas, adunăm $6$ la un număr ales. Poate suma tuturor numerelor să devină $45$? Dar $41$?

Indiciu: cu cât crește suma la fiecare pas? Ce valori poate lua suma?

4. Pe tablă sunt scrise numerele $3, 6, 9$ ($3$ numere). La fiecare pas, ștergem două numere $a$ și $b$ și scriem în loc $a + b + 2$. Ce număr rămâne la final?

Indiciu: cu cât se modifică suma la fiecare pas? Câți pași sunt necesari?

5. Un pion este pe numărul $2$ al axei numerelor. La fiecare pas poate avansa cu $4$ sau cu $8$ poziții. Poate ajunge pe numărul $18$? Dar pe numărul $21$?

Indiciu: identificați invariantul — ce rămâne neschimbat la fiecare pas?

6. (Provocare) Pe tablă sunt scrise $6$ numere pare. La fiecare pas, ștergem două numere și scriem suma lor. Arătați că numărul final este par.

Indiciu: folosiți invariantul sumă și proprietatea parității.

Indicații pentru temă

1. Invariant: suma. $1+2+\cdots+10 = 55$. Răspuns: $55$.

2. Invariant: produsul. $2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 = 720$. Răspuns: $720$.

3. Suma inițială $= 15$. Suma după $k$ pași $= 15 + 6k$. $45$: $6k=30 \Rightarrow k=5$ ✓ posibil. $41$: $6k=26$, $26$ nu se divide cu $6$ → imposibil.

4. Suma inițială $= 18$. La fiecare pas suma crește cu $2$. $2$ pași → suma finală $= 18 + 4 = 22$. Numărul final $= 22$.

5. Invariant: restul la împărțirea cu $4$. Poziția inițială $2$, rest $2$. $18$: $18:4=4$ rest $2$ → posibil ($2 \to 6 \to 10 \to 18$). $21$: $21:4=5$ rest $1 \neq 2$ → imposibil.

6. Suma a $6$ pare = pară. Suma se păstrează (invariant) → numărul final = par.