Lecția 6. Evaluează și dă un exemplu

Prof. Micu Elena

Lecția 6: Ne jucăm și gândim! — Metoda „Evaluează și dă un exemplu"

II. Principii și metode de rezolvare a problemelor de matematică · Clasa a V-a

Cei doi pași ai metodei

EVALUĂM — demonstrăm că răspunsul nu poate fi mai bun de $M$ (mai mic pentru minim / mai mare pentru maxim).

DĂM UN EXEMPLU — construim o soluție concretă care atinge exact $M$.

Exemple rezolvate

E1) Jetoane de 3 culori — minim 4 jetoane

EVALUĂM: minim 4 jetoane

Avem $3$ perechi de culori. Un șir de $n$ jetoane are $n-1$ perechi de vecini. Trebuie $n-1 \geq 3$ → $n \geq 4$.

EXEMPLU: 4 jetoane

R — V — A — R: perechile $\{R,V\}$✓, $\{V,A\}$✓, $\{A,R\}$✓. Toate $3$ perechi acoperite.

Minim $4$ jetoane. $\blacksquare$

E2) Jetoane de 4 culori — minim 8 jetoane

EVALUĂM: minim 8 jetoane

Avem $6$ perechi → minim $7$ jetoane. Dar mai mult: culoarea $1$ trebuie vecină cu $3$ alte culori. Un jeton de culoare $1$ acoperă cel mult $2$ perechi cu $1$ → cu $1$ jeton nu ajunge. Deci $\geq 2$ jetoane din fiecare culoare → $\geq 8$ total.

EXEMPLU: 8 jetoane

1–2–3–4–1–3–2–4: toate $6$ perechi apar ca vecini. ✓

Minim $8$ jetoane. $\blacksquare$

E3) Dreptunghi cu perimetrul $20$ cm — arie maximă

EVALUĂM: aria $\leq 25$ cm²

Avem $a+b=10$. Tabel cu toate variantele (numere naturale):

$a$	$b$	$a \times b$
1	9	9
2	8	16
3	7	21
4	6	24
5	5	25 ← max

EXEMPLU

$a=b=5$ cm: perimetru $=20$ cm ✓, arie $=25$ cm² ✓.

Aria maximă este $25$ cm² (pătratul). $\blacksquare$

E4) Jetoane de 8 culori — minim 32 jetoane

EVALUĂM: minim 32 jetoane

$\binom{8}{2}=28$ perechi → minim $29$ jetoane (din numărare). Dar nu e suficient!

Fiecare culoare trebuie vecină cu $7$ alte culori. Un jeton în interior acoperă cel mult $2$ perechi cu acea culoare. Cu $3$ jetoane: cel mult $6$ perechi → nu ajunge pentru $7$. Deci $\geq 4$ jetoane din fiecare culoare.

$8$ culori $\times$ $4$ jetoane $=$ minim $\mathbf{32}$ jetoane.

EXEMPLU: 32 jetoane

Se construiește un șir de $32$ jetoane în care fiecare culoare apare de $4$ ori și toate $28$ perechile apar ca vecini (construcție similară cu E2).

1–2–3–4–5–6–7–8–1–3–2–4–1–5–1–6–1–7–1–8–2–5–2–6–2–7–2–8–3–5–3–6

Minim $32$ jetoane. $\blacksquare$

Atenție!

Ambii pași sunt obligatorii. Evaluarea singură nu demonstrează că minimul se poate atinge. Exemplul singur nu demonstrează că nu există o soluție mai mică.

Temă

Vă rog să scrieți și enunțul problemelor propuse spre rezolvare!

1. Jetoane de $2$ culori. Numărul minim în rând astfel încât perechea $\{R,A\}$ să apară vecini?

2. Jetoane de $5$ culori. Numărul minim în rând astfel încât orice două culori diferite să apară vecine?

Indiciu: câte perechi sunt?

3. Dreptunghi cu laturile naturale și perimetrul $24$ cm. Aria maximă?

Indiciu: $a+b=12$, treceți prin toate variantele.

4. Dreptunghi cu laturile naturale și perimetrul $24$ cm. Aria minimă (nenulă)?

5. (Provocare) Jetoane de $6$ culori. Numărul minim în rând astfel încât orice două culori diferite să apară vecine?

Indiciu: argumentul gradelor — fiecare culoare trebuie vecină cu $5$ altele.

Indicații

1. $1$ pereche → $2$ jetoane. Exemplu: R–A. Răspuns: $2$.

2. $\binom{5}{2}=10$ perechi → minim $11$ (numărare e exactă la $5$ culori). Exemplu: $1$–$2$–$3$–$4$–$5$–$1$–$3$–$5$–$2$–$4$–$1$. Răspuns: $11$.

3. $a+b=12$; max la $a=b=6$: arie $=36$ cm². Răspuns: $36$ cm².

4. Min la $a=1, b=11$: arie $=11$ cm². Răspuns: $11$ cm².

5. $6$ culori, fiecare vecină cu $5$ altele. Cu $2$ jetoane: acoperă max $4$ perechi → nu ajunge. Cu $3$ jetoane: max $6 > 5$ → ajunge. Minim $3 \times 6 = 18$ jetoane. (La $5$ culori, argumentul numărării era mai bun; la $6$ culori, argumentul gradelor este mai bun.) Răspuns: $18$.