Rețin
Exemple
$\dfrac{47}{10} = 4{,}7$ | $\dfrac{308}{100} = 3{,}08$ | $\dfrac{9}{1000} = 0{,}009$ | $\dfrac{2057}{1000} = 2{,}057$
$\dfrac{5}{100} = 0{,}05$ | $\dfrac{40003}{10000} = 4{,}0003$
$13{,}4075$: parte întreagă $= 13$; cifra zecimilor $= 4$; cifra sutimilor $= 0$; cifra miimilor $= 7$; cifra zecimilor de miime $= 5$.
Formă desfășurată: $13{,}4075 = 13 + \dfrac{4}{10} + \dfrac{0}{100} + \dfrac{7}{1000} + \dfrac{5}{10000}$.
Exerciții
1. Scrie sub formă de fracție zecimală:
a) $\dfrac{73}{10}$
b) $\dfrac{509}{100}$
c) $\dfrac{3}{1000}$
d) $\dfrac{4017}{1000}$
e) $\dfrac{80}{10000}$
f) $\dfrac{123456}{100000}$
2. Se consideră $507{,}2093$. Precizează: a) cifra sutelor; b) cifra zecimilor; c) cifra sutimilor; d) cifra miimilor; e) partea întreagă; f) partea zecimală.
3. Scrie în formă desfășurată $34{,}506$.
4. Plasează virgula în $1234567$ astfel încât cifra sutimilor să fie $4$, cifra zecilor să fie $3$, cifra miimilor să fie $5$.
5. Calculează $a + b + c$, știind că $\overline{a{,}b} + \overline{b{,}c} + \overline{c{,}a} = 9{,}9$.
Rețin
Exemple
Finite: $\dfrac{3}{8} = \dfrac{375}{1000} = 0{,}375$ | $\dfrac{11}{40} = \dfrac{275}{1000} = 0{,}275$
Periodice simple: $\dfrac{4}{9} = 0{,}(4)$ | $\dfrac{5}{11} = 0{,}(45)$ | $\dfrac{2}{7} = 0{,}(285714)$
Periodice mixte: $\dfrac{7}{6} = 1{,}1(6)$ | $\dfrac{11}{12} = 0{,}91(6)$ | $\dfrac{3}{14} = 0{,}2(142857)$
Exerciții
6. Identifică tipul (finită / per. simplă / per. mixtă) fără a efectua împărțirea:
a) $\dfrac{7}{16}$
b) $\dfrac{4}{15}$
c) $\dfrac{9}{28}$
d) $\dfrac{5}{27}$
e) $\dfrac{13}{50}$
f) $\dfrac{11}{18}$
7. Transformă în fracții zecimale:
a) $\dfrac{9}{25}$
b) $\dfrac{7}{32}$
c) $\dfrac{13}{20}$
d) $\dfrac{1}{3}$
e) $\dfrac{5}{9}$
f) $\dfrac{7}{12}$
Rețin
La numărător scriem numărul fără virgulă; la numitor scriem $1$ urmat de atâtea zerouri câte zecimale are fracția:
$\overline{n{,}abc} = \dfrac{\overline{nabc}}{1000}$
Simplificăm fracția obținută.
Exemple
$0{,}48 = \dfrac{48}{100} = \dfrac{12}{25}$ | $3{,}125 = \dfrac{3125}{1000} = \dfrac{25}{8}$ | $0{,}0035 = \dfrac{35}{10000} = \dfrac{7}{2000}$
Exerciții
8. Transformă în fracții ordinare ireductibile:
a) $0{,}75$
b) $1{,}6$
c) $0{,}025$
d) $4{,}32$
e) $0{,}008$
f) $12{,}375$
Rețin — Comparare
Rețin — Rotunjire
Exemple
Comparare: $8{,}309$ și $8{,}31$: sutimile $0 < 1$, deci $8{,}309 < 8{,}31$.
Rotunjire la sutimi: $7{,}3461 \approx 7{,}35$ (cifra miimilor $6 \geq 5$, creștem sutimile).
Rotunjire la zecimi: $3{,}9472 \approx 3{,}9$ (cifra sutimilor $4 < 5$, neglijăm).
Exerciții
9. Compară (folosind $<$, $>$ sau $=$):
a) $5{,}09$ $\square$ $5{,}9$
b) $3{,}210$ $\square$ $3{,}21$
c) $12{,}0098$ $\square$ $12{,}01$
d) $0{,}99$ $\square$ $1$
10. Ordonează crescător: $3{,}019$; $3{,}19$; $3{,}109$; $3{,}091$; $3{,}901$; $3{,}9$.
11. Rotunjește $28{,}46371$ la: a) zecimi; b) sutimi; c) miimi; d) unități; e) zeci.
12. Câte numere cu exact două zecimale se află strict între $4{,}97$ și $5{,}03$?
13. Scrie cinci fracții zecimale cu trei zecimale cuprinse între $2{,}14$ și $2{,}15$.
Rețin
Exemple
$15{,}7 + 8{,}46 = 15{,}70 + 8{,}46 = 24{,}16$
$100 - 37{,}84 = 100{,}00 - 37{,}84 = 62{,}16$
$4{,}7 + 3{,}3 + 6{,}7 + 0{,}3 = (4{,}7 + 0{,}3) + (3{,}3 + 6{,}7) = 5 + 10 = 15$ (grupare convenabilă)
Exerciții
14. Efectuează:
a) $34{,}7 + 18{,}56$
b) $125{,}04 + 9{,}876$
c) $50 - 23{,}47$
d) $87{,}302 - 14{,}9 - 3{,}402$
e) $0{,}901 + 0{,}099$
f) $1000 - 3{,}719$
15. Asociază convenabil:
$A = 7{,}38 + 14{,}62 + 26{,}17 + 3{,}83 + 18{,}04 + 29{,}96$
$B = 0{,}125 + 3{,}875 + 0{,}625 + 9{,}375 + 5{,}5$
16. Suma a două numere este $35{,}1$. Unul este cu $4{,}7$ mai mare decât celălalt. Află cele două numere.
17. Dintr-un sul de sârmă de $48{,}5$ m s-au tăiat bucăți de $7{,}35$ m, $12{,}8$ m și $9{,}05$ m. Câți metri au rămas?
18. Fie $a$, $b$, $c$ cifre distincte. Dacă $\overline{a{,}b} + \overline{b{,}c} + \overline{c{,}a} = 12{,}6$, află $a + b + c$.
Rețin
Exemple
$1{,}23 \times 4{,}5 = 5535 : 1000 = 5{,}535$ (2 + 1 = 3 zecimale)
$0{,}07 \times 0{,}4 = 28 : 1000 = 0{,}028$ (2 + 1 = 3 zecimale)
$3{,}14159 \times 100 = 314{,}159$ | $8{,}6 \times 0{,}01 = 0{,}086$
$2{,}5 \times 3{,}6 \times 4 = (2{,}5 \times 4) \times 3{,}6 = 10 \times 3{,}6 = 36$
Exerciții
19. Calculează:
a) $3{,}6 \times 2{,}5$
b) $0{,}14 \times 0{,}6$
c) $4{,}07 \times 3{,}2$
d) $0{,}008 \times 1{,}25$
e) $7{,}5 \times 0{,}1 \times 4$
f) $0{,}6^3$
20. Regrupează convenabil: $A = 0{,}25 \times 7{,}3 \times 4$ | $B = 1{,}25 \times 0{,}9 \times 8$ | $C = 5 \times 3{,}14 \times 0{,}2$
21. Completează (proprietatea distributivă): $3{,}2 \times (4{,}5 + 0{,}5)$ și $1{,}5 \times (2{,}8 + 1{,}2)$.
22. O tablă dreptunghiulară are lungimea $2{,}4$ m și lățimea $1{,}35$ m. Află aria tablei.
7.1 Împărțirea unei fracții zecimale finite la un număr natural
Rețin — Algoritmul
Exemplul 1 rezolvat detaliat — Calculează $47{,}52 \div 8$
Pasul 1. Împărțim partea întreagă: $47 \div 8 = 5$, rest $7$ (deoarece $5 \cdot 8 = 40$ și $47 - 40 = 7$).
Pasul 2. Coborâm cifra zecimilor ($5$): obținem $75$. Punem virgula în cât. $75 \div 8 = 9$, rest $3$ (deoarece $9 \cdot 8 = 72$ și $75 - 72 = 3$).
Pasul 3. Coborâm cifra sutimilor ($2$): obținem $32$. $32 \div 8 = 4$, rest $0$.
Pasul 4. Restul este $0$, deci împărțirea s-a terminat. Câtul este: $47{,}52 \div 8 = 5{,}94$.
Verificare: $5{,}94 \times 8 = 47{,}52$ ✓
Exemplul 2 — Calculează $9{,}6 \div 75$
Pasul 1. $9 \div 75 = 0$, rest $9$. Punem virgula în cât.
Pasul 2. Coborâm cifra zecimilor ($6$): $96$. $96 \div 75 = 1$, rest $21$.
Pasul 3. Adăugăm zero: $210 \div 75 = 2$, rest $60$.
Pasul 4. Adăugăm zero: $600 \div 75 = 8$, rest $0$. Câtul este: $9{,}6 \div 75 = 0{,}128$.
7.2 Împărțirea a două fracții zecimale finite
Rețin — Algoritmul
Justificare: $a \div b = (a \cdot 10^n) \div (b \cdot 10^n)$.
Cazuri speciale: $a \div 0{,}1 = a \cdot 10$ | $a \div 0{,}01 = a \cdot 100$ | $a \div 0{,}001 = a \cdot 1000$.
Exemplul 3 rezolvat detaliat — Calculează $9{,}36 \div 1{,}2$
Pasul 1. Împărțitorul $1{,}2$ are 1 zecimală, deci $n = 1$.
Pasul 2. Înmulțim ambii cu $10$: $9{,}36 \div 1{,}2 = 93{,}6 \div 12$.
Pasul 3. $93 \div 12 = 7$, rest $9$. Coborâm cifra zecimilor ($6$): $96$. Punem virgula. $96 \div 12 = 8$, rest $0$.
Câtul este: $9{,}36 \div 1{,}2 = 7{,}8$.
Exemplul 4 rezolvat detaliat — Calculează $0{,}2508 \div 0{,}06$
Pasul 1. Împărțitorul $0{,}06$ are 2 zecimale, deci $n = 2$.
Pasul 2. Înmulțim ambii cu $100$: $0{,}2508 \div 0{,}06 = 25{,}08 \div 6$.
Pasul 3. $25 \div 6 = 4$, rest $1$. Coborâm cifra zecimilor ($0$): $10$. Punem virgula. $10 \div 6 = 1$, rest $4$. Coborâm cifra sutimilor ($8$): $48$. $48 \div 6 = 8$, rest $0$.
Câtul este: $0{,}2508 \div 0{,}06 = 4{,}18$.
7.3 Împărțirea a două numere naturale cu rezultat fracție zecimală
Rețin — Algoritmul
Exemplul 5 rezolvat detaliat — Calculează $11 \div 4$ (rezultat finit)
Pasul 1. $11 \div 4 = 2$, rest $3$. Punem virgula în cât.
Pasul 2. Adăugăm zero: $30 \div 4 = 7$, rest $2$.
Pasul 3. Adăugăm zero: $20 \div 4 = 5$, rest $0$. Împărțirea s-a terminat.
Câtul este: $11 \div 4 = 2{,}75$.
Exemplul 6 rezolvat detaliat — Calculează $5 \div 6$ (rezultat periodic)
Pasul 1. $5 \div 6 = 0$, rest $5$. Punem virgula în cât.
Pasul 2. Adăugăm zero: $50 \div 6 = 8$, rest $2$ (deoarece $8 \times 6 = 48$).
Pasul 3. Adăugăm zero: $20 \div 6 = 3$, rest $2$ (deoarece $3 \times 6 = 18$).
Pasul 4. Restul $2$ a mai apărut (la pasul 2). De acum, resturile se repetă: mereu $20 \div 6 = 3$, rest $2$.
Concluzie: cifra $3$ se repetă la nesfârșit. Câtul este: $5 \div 6 = 0{,}8(3)$.
Exerciții
23. Calculează (fracție zecimală ÷ număr natural):
a) $9{,}36 \div 4$
b) $0{,}475 \div 5$
c) $184{,}8 \div 8$
d) $7{,}2 \div 6$
e) $0{,}0084 \div 7$
f) $103{,}5 \div 9$
24. Calculează (două fracții zecimale):
a) $4{,}55 \div 0{,}5$
b) $3{,}024 \div 0{,}12$
c) $0{,}576 \div 0{,}032$
d) $7{,}8 \div 1{,}3$
e) $0{,}0414 \div 0{,}009$
f) $12{,}5 \div 2{,}5$
25. Efectuează (rezultatele pot fi fracții periodice):
a) $11 \div 4$
b) $7 \div 6$
c) $5 \div 9$
d) $8 \div 11$
e) $13 \div 12$
f) $22 \div 7$
26. La o fermă s-au recoltat $248{,}4$ kg de miere în $24$ borcane egale. Câte kilograme sunt în fiecare borcan?
27. Un grup de $15$ elevi au colectat $108{,}75$ kg de deșeuri. Câte kilograme a strâns în medie fiecare elev?
Rețin
Exemple
$\dfrac{1}{3} = 0{,}(3)$ (periodică simplă) | $\dfrac{1}{7} = 0{,}(142857)$ (periodică simplă)
$\dfrac{5}{6} = 0{,}8(3)$ (periodică mixtă) | $\dfrac{7}{12} = 0{,}58(3)$ (periodică mixtă)
Exerciții
28. Transformă în fracții zecimale periodice (notație cu paranteză):
a) $\dfrac{2}{3}$
b) $\dfrac{7}{9}$
c) $\dfrac{4}{11}$
d) $\dfrac{5}{6}$
e) $\dfrac{7}{15}$
f) $\dfrac{11}{12}$
29. Ordonează crescător: $5{,}(241)$ ; $5{,}241$ ; $5{,}2(41)$ ; $5{,}24(1)$.
30. Determină a 2025-a zecimală a fracției $\dfrac{5}{11}$.
Rețin — Fracție periodică simplă
La numărător: tot numărul fără virgulă minus partea întreagă; la numitor: atâtea cifre $9$ câte cifre are perioada:
$n{,}(a) = \dfrac{\overline{na} - \overline{n}}{9}$ $n{,}(ab) = \dfrac{\overline{nab} - \overline{n}}{99}$ $n{,}(abc) = \dfrac{\overline{nabc} - \overline{n}}{999}$
Rețin — Fracție periodică mixtă
La numărător: tot numărul fără virgulă minus partea dinaintea perioadei; la numitor: atâtea $9$ câte cifre are perioada, plus atâtea zerouri câte cifre neperiodice sunt după virgulă:
$0{,}a(b) = \dfrac{\overline{ab} - \overline{a}}{90}$ $n{,}a(bc) = \dfrac{\overline{nabc} - \overline{na}}{900}$ $0{,}a(bcd) = \dfrac{\overline{abcd} - \overline{a}}{9990}$
Exemple
$0{,}(7) = \dfrac{7}{9}$ | $0{,}(18) = \dfrac{18}{99} = \dfrac{2}{11}$ | $3{,}(5) = \dfrac{35 - 3}{9} = \dfrac{32}{9}$
$0{,}3(7) = \dfrac{\overline{37} - 3}{90} = \dfrac{34}{90} = \dfrac{17}{45}$ | $1{,}2(4) = \dfrac{\overline{124} - \overline{12}}{90} = \dfrac{112}{90} = \dfrac{56}{45}$
$0{,}1(36) = \dfrac{\overline{136} - 1}{990} = \dfrac{135}{990} = \dfrac{3}{22}$ | $2{,}40(3) = \dfrac{\overline{2403} - \overline{240}}{9900} = \dfrac{2163}{9900} = \dfrac{241}{1100}$
Exerciții
31. Transformă în fracții ordinare ireductibile:
a) $0{,}(4)$
b) $0{,}(27)$
c) $0{,}(135)$
d) $5{,}(6)$
e) $0{,}2(3)$
f) $0{,}58(3)$
g) $1{,}1(6)$
h) $0{,}41(6)$
32. Arată că $0{,}(9) = 1$.
33. Arată că $x{,}(y) + y{,}(z) + z{,}(x) = x{,}y(z) + y{,}z(x) + z{,}x(y)$, unde $x, y, z$ sunt cifre.
Rețin
Exemplu rezolvat detaliat
$\left[\dfrac{3}{4} + \left(\dfrac{1}{2} - 0{,}3\right)^2\right] : 0{,}25$
Pasul 1 — transforma: $0{,}3 = \dfrac{3}{10}$; $0{,}25 = \dfrac{1}{4}$.
Pasul 2 — paranteza rotundă: $\dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{10} = \dfrac{5-3}{10} = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}$.
Pasul 3 — ridicare la putere: $\left(\dfrac{1}{5}\right)^2 = \dfrac{1}{25}$.
Pasul 4 — paranteza pătrată: $\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{25} = \dfrac{75 + 4}{100} = \dfrac{79}{100}$.
Pasul 5 — împărțirea finală: $\dfrac{79}{100} : \dfrac{1}{4} = \dfrac{79}{100} \times 4 = \dfrac{79}{25}$.
Exerciții
34. Calculează:
a) $0{,}2 + \dfrac{3}{5} - 0{,}(3)$
b) $\left(\dfrac{1}{4} + 0{,}25\right) \times \dfrac{2}{3}$
c) $\dfrac{5}{6} \times 0{,}(6) + \dfrac{1}{3} : 0{,}25$
d) $\left[\dfrac{7}{8} - \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + 0{,}375\right] : 0{,}5$
e) $\left\{\left[\dfrac{1}{3} + \left(\dfrac{2}{3}\right)^2\right] : 0{,}(3) - 1{,}5\right\} \times 1{,}2$
35. Calculează și compară $a$ și $b$:
$a = 1{,}2(5) + \dfrac{3}{4} - 0{,}5$ $b = \dfrac{5}{4} + 0{,}(6) - \dfrac{1}{3}$
36. Calculează respectând ordinea operațiilor:
a) $3{,}6 \div 0{,}4 + 1{,}5 \times 2 - 0{,}7$
b) $12{,}5 - 2{,}5 \times 0{,}8 \div 0{,}2 + 3{,}1$
c) $(4{,}8 + 1{,}2) \div 0{,}6 - 5 \times 1{,}4$
d) $10 - \left[3{,}5 + (2{,}1 - 0{,}6) \times 4\right] \div 0{,}5$
37. Calculează (combină fracții ordinare și zecimale):
a) $\dfrac{3}{4} \times 0{,}8 + \dfrac{1}{2} \div 0{,}25$
b) $\left(\dfrac{5}{6} - 0{,}5\right) \times 1{,}2 + \dfrac{1}{3}$
c) $\left[\dfrac{2}{3} + \left(0{,}5 - \dfrac{1}{4}\right)^2\right] : 0{,}(3)$
d) $\dfrac{1}{2} \times 0{,}(6) + \dfrac{1}{6} \times 1{,}2 - \dfrac{1}{4} \times 0{,}8$
38. Verifică dacă egalitățile sunt adevărate:
a) $0{,}(3) + 0{,}(6) = 1$ b) $0{,}(1) \times 9 = 1$ c) $0{,}(2) \times 0{,}(4) = 0{,}0(8)$
39. Calculează valoarea expresiei $E = \left\{\left[\dfrac{a}{b} - 0{,}(3)\right] : 0{,}5 + 1{,}2\right\} \times b$ pentru $a = 1$, $b = 4$.
Rețin
Media aritmetică a $n$ numere $a_1, a_2, \ldots, a_n$ este: $\displaystyle m = \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}$
Dacă media este $m$, atunci suma celor $n$ numere este $m \times n$.
Exemple
Media lui $4{,}2$; $3{,}7$; $5{,}1$: $m = \dfrac{4{,}2 + 3{,}7 + 5{,}1}{3} = \dfrac{13}{3} = 4{,}(3)$.
Media a 4 numere este $7{,}5$ → suma $= 30$. Trei numere: $6{,}2$; $8{,}4$; $7{,}1$. Al patrulea: $30 - 21{,}7 = 8{,}3$.
Exerciții
40. Calculează media aritmetică a numerelor:
a) $2{,}3$; $4{,}5$; $3{,}1$ b) $1{,}2$; $0{,}8$; $1{,}5$; $2{,}1$ c) $10{,}5$; $11$; $9{,}5$; $12$; $7$
41. Media aritmetică a 5 numere este $8{,}4$. Dacă patru sunt $7{,}2$; $9{,}6$; $8{,}8$; $7{,}4$, află al cincilea.
42. Media aritmetică a două numere este $6{,}5$, iar diferența lor este $3$. Află cele două numere.
43. Patru numere au media $12{,}75$. Primele două au media $11$. Află media ultimelor două.
44. Un elev a obținut la 6 teste scorurile: $8{,}5$; $9{,}2$; $7{,}8$; $8{,}4$; $9{,}0$; $8{,}1$. Calculează media.
Problema 1
Un agricultor are o parcelă dreptunghiulară cu lungimea $12{,}5$ m și lățimea $8{,}4$ m, pe care vrea să o împrejmuiască. Știind că 1 m de gard costă $37{,}50$ lei și poarta (lungimea $2$ m) costă $850$ lei, află suma totală.
Problema 2
Într-un depozit sunt 3 tipuri de cutii: A — $0{,}48$ kg, B — $1{,}25$ kg, C — $0{,}875$ kg. Pe un raft se află 12 cutii A, 8 cutii B și 16 cutii C. Cât cântăresc toate cutiile?
Problema 3
Un rezervor conține $126{,}5$ litri de apă. Printr-un robinet se scurg $0{,}35$ litri pe minut. Cât timp durează golirea rezervorului? (Exprimă în ore și minute.)
Problema 4
O familie a cheltuit pe alimente în 7 zile (lei): $48{,}3$; $102{,}75$; $35{,}2$; $89{,}6$; $74{,}8$; $56{,}35$; $93{,}0$. Calculează media zilnică rotunjită la sutimi.
Problema 5
Ionela cheltuiește $\dfrac{3}{8}$ din suma sa, apoi $0{,}25$ din cât îi rămâne, și mai are $45$ lei. Ce sumă a avut inițial?
Problema 6 (mai dificilă)
Suma a trei numere este $7{,}(3)$. Primul este $\dfrac{2}{5}$ din al doilea, iar al treilea este cu $1{,}0(6)$ mai mare decât primul. Află cele trei numere.
Problema 7 (mai dificilă)
Determină numărul natural $n$ știind că $\dfrac{1}{4} \cdot n + \dfrac{1}{n} = 4{,}25$.
| Ce fac | Formulă / Regulă |
|---|---|
| Fracție ordinară → zecimală finită | Aduc numitorul la putere a lui 10 sau împart |
| Zecimală finită → ordinară | $n{,}abc = \dfrac{\overline{nabc}}{1000}$, simplific |
| Periodică simplă → ordinară | $n{,}(ab) = \dfrac{\overline{nab} - \overline{n}}{99}$ |
| Periodică mixtă → ordinară | $n{,}a(bc) = \dfrac{\overline{nabc} - \overline{na}}{990}$ |
| Înmulțire cu $10^k$ | Virgula se mută $k$ cifre spre dreapta |
| Împărțire la $10^k$ | Virgula se mută $k$ cifre spre stânga |
| Media aritmetică | $m = \dfrac{a_1 + \cdots + a_n}{n}$ |
| Rotunjire | Cifra din dreapta $\geq 5$ → adaugă 1; $< 5$ → neglijează |