În figura alăturată este reprezentat paralelogramul \(ABCD\), cu aria egală cu \(96\text{ cm}^2\). Punctele \(E\) și \(F\) sunt mijloacele laturilor \(AB\), respectiv \(AD\).
Aria triunghiului \(AEF\) este egală cu:
\(ABCD\) paralelogram cu \(\mathcal{A}_{ABCD} = 96\text{ cm}^2\), latura \(AB = a\), latura \(AD = b\), unghiul \(\measuredangle A = \alpha\)
\(E\) mijlocul lui \(AB\) → \(AE = \dfrac{a}{2}\); \(F\) mijlocul lui \(AD\) → \(AF = \dfrac{b}{2}\)
\(\mathcal{A}_{ABCD} = AB \cdot AD \cdot \sin\alpha = a \cdot b \cdot \sin\alpha = 96\text{ cm}^2\)
\(\mathcal{A}_{AEF} = \dfrac{1}{2} \cdot AE \cdot AF \cdot \sin\alpha = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{a}{2} \cdot \dfrac{b}{2} \cdot \sin\alpha = \dfrac{a \cdot b \cdot \sin\alpha}{8}\)
\(\mathcal{A}_{AEF} = \dfrac{\mathcal{A}_{ABCD}}{8} = \dfrac{96}{8} = 12\text{ cm}^2\)
Diagonala \(AC\) împarte paralelogramul în două triunghiuri congruente \(ABC\) și \(ACD\), deci \(\mathcal{A}_{ABC} = 48\text{ cm}^2\).
\(EF\) este linie mijlocie în triunghiul \(ABD\). Triunghiul \(AEF\) este similar cu triunghiul \(ABD\) cu raportul \(\dfrac{1}{2}\), deci aria sa este \(\dfrac{1}{4} \cdot \mathcal{A}_{ABD}\).
\(\mathcal{A}_{ABD} = \dfrac{\mathcal{A}_{ABCD}}{2} = 48\text{ cm}^2 \Rightarrow \mathcal{A}_{AEF} = \dfrac{48}{4} = 12\text{ cm}^2\) ✅