G3.3 — Triunghi Dreptunghic cu Bisectoare (PDF)

G3.3 Geometrie plană Mediu Model 2025 — Subiectul II

📋 Enunț

În figura alăturată, triunghiul \(ABC\) este dreptunghic în \(A\) și \(m(\measuredangle ACB) = 60^\circ\). \(CM\) este bisectoarea unghiului \(\measuredangle ACB\), cu \(M\) pe latura \(AB\) și \(CM = 8\text{ cm}\). Lungimea segmentului \(AB\) este egală cu:

Triunghi dreptunghic ABC cu bisectoarea CM

a) \(4\sqrt{3}\text{ cm}\) b) \(8\text{ cm}\) c) \(12\text{ cm}\) d) \(8\sqrt{3}\text{ cm}\)

📚 Noțiuni teoretice utilizate

Bisectoarea unui unghi

Dacă \(CM\) este bisectoarea unghiului \(\measuredangle ACB = 60^\circ\), atunci \(m(\measuredangle ACM) = m(\measuredangle MCB) = 30^\circ\).

Triunghi 30°–60°–90°: cateta opusă lui 30° = jumătate din ipotenuză

Dacă \(\measuredangle CAM = 90^\circ\) și \(\measuredangle ACM = 30^\circ\), atunci \(AM = \dfrac{CM}{2}\) și \(AC = CM \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

✏️ Rezolvare pas cu pas

Date cunoscute

\(\measuredangle A = 90^\circ\), \(m(\measuredangle ACB) = 60^\circ\), \(CM\) bisectoarea \(\measuredangle ACB\), \(CM = 8\text{ cm}\)

Determinarea lungimii AB

Unghiurile formate de bisectoare

\(m(\measuredangle ACM) = m(\measuredangle MCB) = 30^\circ\)

Calculez \(AM\) și \(AC\) în \(\triangle ACM\) (30°–60°–90°, ipotenuza \(CM = 8\))

\(AM = \dfrac{CM}{2} = 4\text{ cm}\); \(AC = CM \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\text{ cm}\)

Calculez \(AB\) în \(\triangle ABC\) folosind \(\operatorname{tg}(60^\circ)\)

În \(\triangle ABC\), \(\measuredangle A = 90^\circ\): \(\operatorname{tg}(\measuredangle ACB) = \dfrac{AB}{AC}\)

\(\operatorname{tg}(60^\circ) = \dfrac{AB}{4\sqrt{3}} \implies \sqrt{3} = \dfrac{AB}{4\sqrt{3}} \implies AB = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 12\text{ cm}\)

✅ Răspunsul corect este c) \(AB = 12\text{ cm}\)