Cerință: Să se raționalizeze numitorul fracției: $\dfrac{5}{\sqrt{10}}$.

1. Identificarea factorului de amplificare: Numitorul conține $\sqrt{10}$ (ordinul 2). Factorul de amplificare este $\sqrt{10}$.
2. Amplificarea fracției: $$\frac{5}{\sqrt{10}} = \frac{5 \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{5\sqrt{10}}{10}.$$
3. Simplificarea rezultatului: Simplificăm 5 și 10 prin 5: $$\frac{5\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{2}.$$

Cerință: Să se raționalizeze numitorul fracției: $\dfrac{3}{\sqrt[3]{9}}$.

1. Scrierea ca putere: Observăm că $9 = 3^2$, deci numitorul este $\sqrt[3]{3^2}$.
2. Calculul exponentului complementar: Ordinul este $n = 3$, exponentul curent este $k = 2$. Efectuăm amplificarea cu $\sqrt[3]{3^{3-2}} = \sqrt[3]{3^1} = \sqrt[3]{3}$.
3. Amplificarea și simplificarea: $$\frac{3}{\sqrt[3]{3^2}} = \frac{3 \cdot \sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3^2} \cdot \sqrt[3]{3}} = \frac{3\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3^3}} = \frac{3\sqrt[3]{3}}{3} = \sqrt[3]{3}.$$

Cerință: Să se raționalizeze numitorul fracției: $\dfrac{21}{\sqrt[5]{-128}}$.

1. Scoaterea minusului și descompunerea: Deoarece ordinul 5 este impar, $\sqrt[5]{-128} = -\sqrt[5]{128}$. Descompunem $128 = 2^7 = 2^5 \cdot 2^2$.
2. Scoaterea factorilor de sub radical: $\sqrt[5]{2^7} = 2\sqrt[5]{2^2} = 2\sqrt[5]{4}$. Fracția devine $-\dfrac{21}{2\sqrt[5]{4}}$.
3. Amplificarea: Pentru $\sqrt[5]{2^2}$, mai avem nevoie de $2^{5-2} = 2^3 = 8$. Amplificăm cu $\sqrt[5]{8}$: $$-\frac{21 \cdot \sqrt[5]{8}}{2\sqrt[5]{2^2} \cdot \sqrt[5]{2^3}} = -\frac{21\sqrt[5]{8}}{2 \cdot 2} = -\frac{21\sqrt[5]{8}}{4}.$$

Cerință: Să se raționalizeze numitorul fracției: $\dfrac{36}{\sqrt[4]{48}}$.

1. Descompunerea și simplificarea radicalului: $48 = 2^4 \cdot 3 \implies \sqrt[4]{48} = 2\sqrt[4]{3}$.
2. Fracția intermediară: $\dfrac{36}{2\sqrt[4]{3}} = \dfrac{18}{\sqrt[4]{3}}$.
3. Amplificarea: Pentru $\sqrt[4]{3^1}$, factorul necesar este $\sqrt[4]{3^{4-1}} = \sqrt[4]{3^3} = \sqrt[4]{27}$.
4. Calculul final: $$\frac{18 \cdot \sqrt[4]{27}}{\sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[4]{27}} = \frac{18\sqrt[4]{27}}{3} = 6\sqrt[4]{27}.$$

Cerință: Să se raționalizeze numitorul fracției: $\dfrac{6}{\sqrt[9]{8}}$.

1. Simplificarea exponentului cu ordinul: $8 = 2^3 \implies \sqrt[9]{8} = \sqrt[9]{2^3} = 2^{3/9} = 2^{1/3} = \sqrt[3]{2}$.
2. Amplificarea cu radicalul cubic complementar: Pentru $\sqrt[3]{2^1}$, amplificăm cu $\sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4}$.
3. Rezultat: $$\frac{6}{\sqrt[3]{2}} = \frac{6\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}} = \frac{6\sqrt[3]{4}}{2} = 3\sqrt[3]{4}.$$

Cerință: Să se raționalizeze numitorul fracției: $\dfrac{1}{3 + \sqrt{5}}$.

1. Identificarea conjugatului: Conjugatul expresiei $3 + \sqrt{5}$ este $3 - \sqrt{5}$.
2. Amplificarea fracției: $$\frac{1}{3 + \sqrt{5}} = \frac{1 \cdot (3 - \sqrt{5})}{(3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5})}.$$
3. Aplicarea formulei $(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$: $$\text{Numitor} = 3^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4.$$
4. Rezultat final: $\dfrac{3 - \sqrt{5}}{4}$.

Cerință: Să se raționalizeze numitorul fracției: $\dfrac{1}{4 + 3\sqrt{2}}$.

1. Conjugatul: Amplificăm cu $4 - 3\sqrt{2}$.
2. Calculul numitorului: $(4 + 3\sqrt{2})(4 - 3\sqrt{2}) = 4^2 - (3\sqrt{2})^2 = 16 - (9 \cdot 2) = 16 - 18 = -2$.
3. Așezarea minusului la numărător: $$\frac{4 - 3\sqrt{2}}{-2} = \frac{-(4 - 3\sqrt{2})}{2} = \frac{3\sqrt{2} - 4}{2}.$$

Cerință: Să se raționalizeze numitorul fracției: $\dfrac{6}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}$.

1. Conjugatul: Amplificăm cu $\sqrt{7} + \sqrt{3}$.
2. Calculul numitorului: $(\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{7} + \sqrt{3}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2 = 7 - 3 = 4$.
3. Simplificarea fracției: $$\frac{6(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{4} = \frac{3(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{2}.$$

Cerință: Să se raționalizeze numitorul fracției: $\dfrac{5}{3\sqrt{2} - \sqrt{13}}$.

1. Conjugatul: Amplificăm cu $3\sqrt{2} + \sqrt{13}$.
2. Calculul numitorului: $(3\sqrt{2})^2 - (\sqrt{13})^2 = (9 \cdot 2) - 13 = 18 - 13 = 5$.
3. Simplificarea numărătorului cu numitorul: $$\frac{5(3\sqrt{2} + \sqrt{13})}{5} = 3\sqrt{2} + \sqrt{13}.$$

Cerință: Să se raționalizeze numitorul fracției: $\dfrac{1}{\sqrt[3]{3} - 1}$.

1. Identitatea utilizată: $(A - B)(A^2 + AB + B^2) = A^3 - B^3$.
2. Alegerea termenilor: Fie $A = \sqrt[3]{3}$ și $B = 1$.
3. Factorul de amplificare: $A^2 + AB + B^2 = (\sqrt[3]{3})^2 + \sqrt[3]{3} \cdot 1 + 1^2 = \sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1$.
4. Calculul numitorului: $$(\sqrt[3]{3} - 1)(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1) = (\sqrt[3]{3})^3 - 1^3 = 3 - 1 = 2.$$
5. Rezultat final: $\dfrac{\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1}{2}$.

Cerință: Să se raționalizeze numitorul fracției: $\dfrac{6}{\sqrt[3]{7} + 1}$.

1. Identitatea utilizată: $(A + B)(A^2 - AB + B^2) = A^3 + B^3$.
2. Factorul de amplificare: Pentru $A = \sqrt[3]{7}$ și $B = 1$, amplificăm cu $A^2 - AB + B^2 = \sqrt[3]{49} - \sqrt[3]{7} + 1$.
3. Calculul numitorului: $(\sqrt[3]{7} + 1)(\sqrt[3]{49} - \sqrt[3]{7} + 1) = (\sqrt[3]{7})^3 + 1^3 = 7 + 1 = 8$.
4. Simplificarea: $$\frac{6(\sqrt[3]{49} - \sqrt[3]{7} + 1)}{8} = \frac{3(\sqrt[3]{49} - \sqrt[3]{7} + 1)}{4}.$$

Cerință: Să se raționalizeze numitorul fracției: $\dfrac{1}{\sqrt[3]{40} - \sqrt[3]{15}}$.

1. Factorizarea numitorului: $\sqrt[3]{40} = \sqrt[3]{5 \cdot 8} = 2\sqrt[3]{5}$, iar $\sqrt[3]{15} = \sqrt[3]{5 \cdot 3} = \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{3}$.
2. Scoaterea factorului comun: Numitorul devine $\sqrt[3]{5}\,(2 - \sqrt[3]{3})$.
3. Raționalizarea în două etape:
   • Amplificăm mai întâi cu $\sqrt[3]{5^2} = \sqrt[3]{25}$, pentru a elimina $\sqrt[3]{5}$: obținem $\dfrac{\sqrt[3]{25}}{5(2 - \sqrt[3]{3})}$.
   • Amplificăm apoi cu $2^2 + 2\sqrt[3]{3} + (\sqrt[3]{3})^2 = 4 + 2\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}$: $$(2 - \sqrt[3]{3})(4 + 2\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}) = 2^3 - (\sqrt[3]{3})^3 = 8 - 3 = 5.$$
4. Rezultat final: $$\frac{\sqrt[3]{25}\,(4 + 2\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9})}{5 \cdot 5} = \frac{\sqrt[3]{25}\,(4 + 2\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9})}{25}.$$

Cerință: Să se aducă la o formă raționalizată expresia: $\sqrt{\dfrac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{a - b}}$, unde $a > b > 0$.

1. Raționalizarea sub radicalul mare: Amplificăm fracția de sub radical cu $(\sqrt{a} - \sqrt{b})$: $$\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{a - b}.$$
2. Extragerea de sub radical: $$\sqrt{\frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{a - b}} = \frac{|\sqrt{a} - \sqrt{b}|}{\sqrt{a - b}} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a - b}} \quad (\text{deoarece } a > b \implies \sqrt{a} > \sqrt{b}).$$
3. Înmulțirea cu al doilea termen: $$\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a - b}} \cdot \frac{1}{\sqrt{a - b}} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b}.$$

Cerință: Să se raționalizeze numitorul fracției: $\dfrac{4}{\sqrt{3} - \sqrt{2} - 1}$.

1. Gruparea termenilor: Privim numitorul ca $[(\sqrt{3} - \sqrt{2}) - 1]$.
2. Prima amplificare, cu conjugatul $[(\sqrt{3} - \sqrt{2}) + 1]$: $$\text{Numitor}_1 = [(\sqrt{3} - \sqrt{2}) - 1][(\sqrt{3} - \sqrt{2}) + 1] = (\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 - 1^2.$$ $$(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 - 1 = (3 - 2\sqrt{6} + 2) - 1 = 5 - 1 - 2\sqrt{6} = 4 - 2\sqrt{6} = 2(2 - \sqrt{6}).$$
3. A doua amplificare, cu conjugatul $2 + \sqrt{6}$: $$\text{Numitor}_2 = 2(2 - \sqrt{6})(2 + \sqrt{6}) = 2(4 - 6) = 2(-2) = -4.$$
4. Finalizarea calculului numărătorului și simplificarea cu $-4$.

Cerință: Să se raționalizeze numitorul fracției: $\dfrac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{10} - \sqrt{3} + \sqrt{6}}$.

1. Descompunerea în factori prin grupare: $$(\sqrt{5} - \sqrt{10}) - (\sqrt{3} - \sqrt{6}) = \sqrt{5}(1 - \sqrt{2}) - \sqrt{3}(1 - \sqrt{2}) = (\sqrt{5} - \sqrt{3})(1 - \sqrt{2}).$$
2. Raționalizarea independentă a celor doi factori: Amplificăm cu $(\sqrt{5} + \sqrt{3})(1 + \sqrt{2})$.
3. Calculul numitorului: $$[(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})] \cdot [(1 - \sqrt{2})(1 + \sqrt{2})] = (5 - 3)(1 - 2) = 2 \cdot (-1) = -2.$$
4. Rezultat final: $-\dfrac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(1 + \sqrt{2})}{2}$.

Cerință: Să se raționalizeze numitorul fracției: $\dfrac{\sqrt[3]{9} - 1}{\sqrt[3]{81} - \sqrt[3]{9} + 1}$.

1. Identificarea structurii: Notăm $A = \sqrt[3]{9}$ și $B = 1$. Observăm că $A^2 = (\sqrt[3]{9})^2 = \sqrt[3]{81}$.
2. Recunoașterea factorului dintr-o sumă de cuburi: Numitorul este $A^2 - AB + B^2$.
3. Amplificarea cu $A + B = \sqrt[3]{9} + 1$: $$\text{Numitor} = (A + B)(A^2 - AB + B^2) = A^3 + B^3 = (\sqrt[3]{9})^3 + 1^3 = 9 + 1 = 10.$$
4. Calculul numărătorului: $(\sqrt[3]{9} - 1)(\sqrt[3]{9} + 1) = (\sqrt[3]{9})^2 - 1^2 = \sqrt[3]{81} - 1$.
5. Rezultat final: $\dfrac{\sqrt[3]{81} - 1}{10}$.

Cerință: Să se raționalizeze numitorul fracției: $\dfrac{6}{\sqrt{3} - \sqrt[3]{3}}$.

1. Aducerea la același ordin (ordinul 6): $\sqrt{3} = \sqrt[6]{3^3} = \sqrt[6]{27}$, iar $\sqrt[3]{3} = \sqrt[6]{3^2} = \sqrt[6]{9}$.
2. Substituția algebrică: Fie $x = \sqrt[6]{3} \implies \sqrt{3} = x^3$ și $\sqrt[3]{3} = x^2$.
3. Factorizarea numitorului: $x^3 - x^2 = x^2(x - 1) = \sqrt[3]{3}\,(\sqrt[6]{3} - 1)$.
4. Amplificarea succesivă:
   • Amplificăm cu $\sqrt[3]{9}$, pentru a elimina $\sqrt[3]{3}$ din factor.
   • Amplificăm cu $(\sqrt[6]{3^5} + \sqrt[6]{3^4} + \cdots + 1)$ pentru factorul $(\sqrt[6]{3} - 1)$, obținând la numitor $(\sqrt[6]{3})^6 - 1^6 = 3 - 1 = 2$.

Cerință: Să se raționalizeze numitorul fracției: $\dfrac{1}{\sqrt[5]{3} - 1}$.

1. Identitatea utilizată: $(x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) = x^5 - 1$.
2. Alegerea factorului de amplificare: Pentru $x = \sqrt[5]{3}$, amplificăm cu: $$(\sqrt[5]{3})^4 + (\sqrt[5]{3})^3 + (\sqrt[5]{3})^2 + \sqrt[5]{3} + 1 = \sqrt[5]{81} + \sqrt[5]{27} + \sqrt[5]{9} + \sqrt[5]{3} + 1.$$
3. Calculul numitorului: $(\sqrt[5]{3} - 1)(\ldots) = (\sqrt[5]{3})^5 - 1^5 = 3 - 1 = 2$.
4. Rezultat final: $\dfrac{\sqrt[5]{81} + \sqrt[5]{27} + \sqrt[5]{9} + \sqrt[5]{3} + 1}{2}$.