Folosind definiția radicalului de ordinul $n$ dintr-un număr real și unele proprietăți ale puterilor cu exponent întreg se vor pune în evidență o serie de proprietăți specifice radicalilor.

Să amintim următoarea proprietate a puterilor cu exponent natural pe care o vom folosi în demonstrarea unor proprietăți ale radicalilor.

P1. Radicalul produsului

$\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}, \quad (\forall)a, b \in [0, +\infty)$.

Observație: Dacă indicele $n$ este impar proprietatea este adevărată pentru orice numere reale.

Observație.

Proprietatea P1 poate fi generalizată pentru un număr finit de numere reale:

Pentru $a_1, a_2, \ldots, a_k \geq 0$, unde avem $k \in \mathbb{N}^* \setminus \{1\}$:

$\sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_k} = \sqrt[n]{a_1} \cdot \sqrt[n]{a_2} \cdot \ldots \cdot \sqrt[n]{a_k}$.

P2. Radicalul unui raport

$\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}, \quad (\forall)a \in [0, +\infty),\ b \in (0, +\infty)$.

Observație Condițiile $a \geq 0$, $b > 0$ sunt esențiale când $n$ este un număr par.

Dacă $n$ este număr impar, proprietatea P2 are loc pentru oricare numere $a \in \mathbb{R}$ și $b \in \mathbb{R}^*$.

P3. Puterea unui radical

$\left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \sqrt[n]{a^m}, \quad (\forall)a \in [0, +\infty),\ m \in \mathbb{N}^*$.

Observație

Proprietatea P3 rămâne adevărată pentru $a < 0$ dacă $n$ este număr impar.

P4. Scoaterea unui factor de sub radical

$\sqrt[n]{a^{mn} \cdot b} = a^m \cdot \sqrt[n]{b}, \quad (\forall)a \in [0, +\infty)$.

P5. Amplificarea, simplificarea unui radical

$\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[nk]{a^{mk}}, \quad (\forall)a \in [0, +\infty),\ k \in \mathbb{N}^*$  (amplificarea)

$\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}, \quad (\forall)a \in [0, +\infty),\ k \in \mathbb{N}^*$  (simplificarea)

P6. Compunerea radicalilor

$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}, \quad (\forall)a \in [0, +\infty)$.

P7. Compararea radicalilor

Dacă $a, b \in [0, +\infty)$ atunci $\sqrt[n]{a} \leq \sqrt[n]{b} \Leftrightarrow a \leq b$.

Operații cu radicali

Examinând proprietățile radicalilor de ordinul $n$, se constată că ele descriu totodată anumite reguli de calcul cu radicali. Astfel, pentru $a, b \in [0, +\infty)$ și $m, n \in \mathbb{N}^* \setminus \{1\}$ avem:

1. 1.  $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$, sau mai general, $\sqrt[n]{a_1} \cdot \sqrt[n]{a_2} \cdot \ldots \cdot \sqrt[n]{a_k} = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_k}$,

   $a_i \in [0, +\infty),\ i = \overline{1, k}$;  (înmulțirea radicalilor)

2. 2.  $\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}$, $b \neq 0$;  (împărțirea radicalilor)
3. 3.  $\left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \sqrt[n]{a^m}$, $m \in \mathbb{Z}$, $a \neq 0$;  (ridicarea la putere)
4. 4.  $\sqrt[n]{a^{nk} \cdot b} = a^k \cdot \sqrt[n]{b}$;  (scoaterea unui factor de sub radical)
5. 5.  $a\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a^n \cdot b}$;  (înmulțirea unui radical cu un număr pozitiv - introducerea factorilor sub radical)
6. 6.  $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$;  (extragerea rădăcinii de ordin $m$ dintr-un radical de ordin $n$)
7. 7.  $\sqrt[m]{a}\sqrt[n]{b} = \sqrt[mn]{a^n b^m}$.

Observații

Dacă $m$ și $n$ sunt numere impare, atunci condiția de pozitivitate a lui $a$ și $b$ nu mai este necesară.

Dacă la operațiile 1 și 2 se folosesc radicali de ordine diferite, mai întâi se aduc radicalii la același ordin prin operația de amplificare. Ordinul comun se alege de obicei ca fiind cel mai mic multiplu comun al ordinelor radicalilor.

Observații

În ceea ce privește adunarea radicalilor nu există proprietăți speciale ale acesteia.

Trebuie remarcat ca $\sqrt[n]{a + b} \neq \sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b}$.

Dacă $a < 0$, $b \geq 0$, atunci $a\sqrt[2n]{b} = -\sqrt[2n]{a^{2n}b}$.

Dacă $a, b \in \mathbb{R}$, atunci $\sqrt[n]{a^n b} = \begin{cases} a\sqrt[n]{b}, & n \text{ impar} \\ |a|\sqrt[n]{b}, & n = \text{ par},\ b \geq 0 \end{cases}$.

Reamintim că media geometrică a două numere pozitive $a_1, a_2$ a fost definită ca fiind $m_g = \sqrt{a_1 \cdot a_2}$.

În general, media geometrică a $n$ numere pozitive $a_1, a_2, \ldots, a_n$ este:

$m_g = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n}$.