1. Șirurile aproximărilor raționale (zecimale) prin lipsă și prin adaos
Conceptul de putere cu exponent real irațional, cum ar fi $2^{\sqrt2}$ sau $5^{-\sqrt3}$, nu poate fi definit direct prin înmulțire repetată sau prin radicali de ordin $n$, așa cum se procedează în cazul exponenților întregi sau raționali. Construcția riguroasă se bazează pe încadrarea exponentului irațional între două șiruri de numere raționale (zecimale) din ce în ce mai apropiate: aproximările prin lipsă și aproximările prin adaos.
1.1. Aproximarea unui număr real pozitiv $(x > 0)$
Pentru un număr real pozitiv $x > 0$, exprimat prin scrierea sa zecimală neperiodică
$x = a_0, a_1 a_2 a_3 \ldots a_n \ldots \qquad (a_0 \in \mathbb{N},\ a_i \in \{0, 1, \ldots, 9\})$
noțiunea intuitivă de trunchiere oferă cel mai simplu mod de înțelegere a aproximării prin lipsă.
1. Aproximarea zecimală prin lipsă de ordin $n$, notată $x_n'$, reprezintă chiar trunchierea numărului $x$ la primele $n$ zecimale, adică eliminarea tuturor zecimalelor de la poziția $n + 1$ încolo:
$x_n' = a_0, a_1 a_2 \ldots a_n$
Matematic, $x_n'$ este cel mai mare număr zecimal cu $n$ zecimale mai mic sau egal cu $x$.
2. Aproximarea zecimală prin adaos de ordin $n$, notată $x_n''$, se obține adăugând o unitate de ordinul $10^{-n}$ la aproximarea prin lipsă, adică mărind cu $1$ ultima zecimală păstrată:
$x_n'' = x_n' + \dfrac{1}{10^n} = a_0, a_1 a_2 \ldots (a_n + 1)$
Matematic, $x_n''$ este cel mai mic număr zecimal cu $n$ zecimale strict mai mare decât $x$.
a) Încadrarea strictă. Pentru orice $n \in \mathbb{N}$ are loc inegalitatea dublă:
$x_n' \leq x < x_n''$
b) Monotonia șirurilor. Șirul aproximărilor prin lipsă $(x_n')_{n \geq 0}$ este monoton crescător, iar șirul aproximărilor prin adaos $(x_n'')_{n \geq 0}$ este monoton descrescător:
$x_0' \leq x_1' \leq x_2' \leq \cdots \leq x \leq \cdots \leq x_2'' \leq x_1'' \leq x_0''$
c) Convergența. Lungimea intervalului $[x_n', x_n'']$ este $x_n'' - x_n' = 10^{-n}$. Când $n \to \infty$, această diferență tinde la $0$, ceea ce garantează că ambele șiruri au limita egală cu $x$.
Exemplul 1 (Număr real pozitiv: $x = \sqrt2 = 1,41421356\ldots$)
Aplicăm regula trunchierii pentru a găsi aproximările lui $\sqrt2$:
Tabelul 1. Aproximările zecimale prin trunchiere pentru $x = \sqrt2 > 0$
| Ordin $(n)$ | Aproximarea prin lipsă $(x_n')$ trunchierea |
Aproximarea prin adaos $(x_n'')$ $x_n' + 10^{-n}$ |
Încadrare valabilă |
|---|---|---|---|
| $n = 0$ | $1$ | $2$ | $1 \leq \sqrt2 < 2$ |
| $n = 1$ | $1,4$ | $1,5$ | $1,4 \leq \sqrt2 < 1,5$ |
| $n = 2$ | $1,41$ | $1,42$ | $1,41 \leq \sqrt2 < 1,42$ |
| $n = 3$ | $1,414$ | $1,415$ | $1,414 \leq \sqrt2 < 1,415$ |
| $n = 4$ | $1,4142$ | $1,4143$ | $1,4142 \leq \sqrt2 < 1,4143$ |
1.2. Aproximarea unui număr real negativ $(x < 0)$, prin opusele aproximărilor numărului pozitiv
Pentru numerele negative, aplicarea directă a termenului de „trunchiere” poate crea confuzii, deoarece pe axa numerelor reale ordinea este inversată: un număr cu modul mai mare este situat mai la stânga, deci este mai mic. Cea mai clară și mai riguroasă metodă este regula schimbării de semn, numită și regula opuselor.
Fie $x < 0$ un număr negativ și fie $a = -x = |x| > 0$ modulul său. Dacă pentru numărul pozitiv $a$ avem aproximările $a_n'$ prin lipsă, adică trunchierea, și $a_n''$ prin adaos, adică
$a_n' \leq a < a_n''$
atunci, înmulțind întreaga inegalitate cu $-1$, sensul inegalităților se inversează:
$-a_n'' < -a \leq -a_n' \Longrightarrow -a_n'' < x \leq -a_n'$
Prin urmare, pentru numărul negativ $x = -a$:
1) aproximarea prin lipsă a lui $x$ este opusa aproximării prin adaos a lui $a$: $x_n' = -a_n''$;
2) aproximarea prin adaos a lui $x$ este opusa aproximării prin lipsă a lui $a$: $x_n'' = -a_n'$.
Exemplul 2 (Număr real negativ: $x = -\sqrt3 \approx -1,7320508\ldots$)
Lucrăm mai întâi cu numărul pozitiv $a = \sqrt3 \approx 1,7320508\ldots$, folosind metoda trunchierii:
Trecem la numărul negativ $x = -\sqrt3$ prin inversare și schimbare de semn:
Tabelul 2. Aproximările zecimale pentru numărul negativ $x = -\sqrt3$, prin metoda opuselor
| Ordin $(n)$ | Aproximare prin lipsă $x_n' = -a_n''$ |
Aproximare prin adaos $x_n'' = -a_n'$ |
Justificare intuitivă pe axa reală |
|---|---|---|---|
| $n = 0$ | $-2$ | $-1$ | $-2$ este mai la stânga decât $-\sqrt3$, iar $-1$ este mai la dreapta |
| $n = 1$ | $-1,8$ | $-1,7$ | $-1,8 < -1,732\ldots < -1,7$ |
| $n = 2$ | $-1,74$ | $-1,73$ | $-1,74 < -1,732\ldots < -1,73$ |
| $n = 3$ | $-1,733$ | $-1,732$ | $-1,733 < -1,73205\ldots < -1,732$ |
2. Definiția și proprietățile puterii cu exponent real
Fie $a > 0$ un număr real pozitiv diferit de $1$, numit baza puterii, și fie $x \in \mathbb{R}$ un exponent real oarecare. Fie $(x_n')_{n \geq 0}$ și $(x_n'')_{n \geq 0}$ șirurile aproximărilor zecimale prin lipsă, respectiv prin adaos, ale lui $x$.
2.1. Definiția puterii $a^x$
1. Cazul bazei supraunitare $(a > 1)$. Pentru orice $n \in \mathbb{N}$, exponenții raționali $x_n'$ și $x_n''$ definesc puterile $a^{x_n'}$ și $a^{x_n''}$. Există un unic număr real $y > 0$, notat $a^x$, astfel încât:
$a^{x_n'} \leq a^x < a^{x_n''},\ (\forall)\, n \in \mathbb{N}$
2. Cazul bazei subunitare $(0 < a < 1)$. Deoarece ridicarea la o bază subunitară inversează ordinea, puterea $a^x$ este unicul număr real $y > 0$ care satisface:
$a^{x_n''} < a^x \leq a^{x_n'},\ (\forall)\, n \in \mathbb{N}$
3. Cazurile particulare: $1^x = 1$ pentru orice $x \in \mathbb{R}$, iar $a^0 = 1$.
2.2. Proprietățile algebrice ale puterilor cu exponent real
Pentru orice baze $a, b > 0$ și orice exponenți reali $x, y \in \mathbb{R}$ au loc următoarele reguli de calcul.
Tabelul 3. Proprietățile algebrice fundamentale ale puterilor cu exponent real
| Nr. | Proprietate | Denumire |
|---|---|---|
| 1 | $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$ | Înmulțirea puterilor cu aceeași bază: exponenții se adună. |
| 2 | $\dfrac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$ | Împărțirea puterilor cu aceeași bază: exponenții se scad. |
| 3 | $\left(a^x\right)^y = a^{x \cdot y}$ | Ridicarea unei puteri la o altă putere: exponenții se înmulțesc. |
| 4 | $(a \cdot b)^x = a^x \cdot b^x$ | Puterea unui produs este produsul puterilor. |
| 5 | $\left(\dfrac{a}{b}\right)^x = \dfrac{a^x}{b^x}$ | Puterea unui cât este câtul puterilor. |
| 6 | $a^{-x} = \dfrac{1}{a^x}$ | Exponentul negativ dă inversa puterii cu exponent pozitiv. |
| 7 | $a^x > 0$ | Orice putere cu bază pozitivă este strict pozitivă, pentru orice $x \in \mathbb{R}$. |
3. Monotonia funcției exponențiale și rolul ei în inecuații
Monotonia reprezintă proprietatea centrală a puterilor cu exponent real și constituie instrumentul fundamental folosit în rezolvarea inecuațiilor exponențiale.
3.1. Monotonia în funcție de bază
Considerăm funcția exponențială $f\colon \mathbb{R} \to (0, \infty)$, $f(x) = a^x$, unde $a > 0$, $a \neq 1$.
1. Cazul bazei supraunitare $(a > 1)$. Funcția exponențială este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$:
$(\forall)\, x_1, x_2 \in \mathbb{R},\ x_1 < x_2 \iff a^{x_1} < a^{x_2}$
Consecință pentru inecuații: la trecerea de la puteri la exponenți, sau invers, sensul inegalității se păstrează.
2. Cazul bazei subunitare $(0 < a < 1)$. Funcția exponențială este strict descrescătoare pe $\mathbb{R}$:
$(\forall)\, x_1, x_2 \in \mathbb{R},\ x_1 < x_2 \iff a^{x_1} > a^{x_2}$
Consecință pentru inecuații: la trecerea de la puteri la exponenți, sau invers, sensul inegalității se inversează.
3.2. Compararea puterilor cu 1
Ca o consecință directă a monotoniei, putem compara imediat orice putere $a^x$ cu numărul $1 = a^0$.
Tabelul 4. Reguli de comparare a puterii $a^x$ cu $1$
| Condiție asupra bazei | Semnul exponentului $(x)$ | Relația cu $1$ |
|---|---|---|
| $a > 1$, bază supraunitară | $x > 0$ | $a^x > 1$ |
| $a > 1$, bază supraunitară | $x < 0$ | $a^x < 1$ |
| $0 < a < 1$, bază subunitară | $x > 0$ | $a^x < 1$ |
| $0 < a < 1$, bază subunitară | $x < 0$ | $a^x > 1$ |
3.3. Metodologia de rezolvare a inecuațiilor exponențiale
Pentru a rezolva o inecuație exponențială de forma $a^{f(x)} \leq a^{g(x)}$ sau $a^{f(x)} \geq a^{g(x)}$ se parcurg următorii pași:
Dacă $a > 1$, se elimină baza și se păstrează sensul inegalității: $a^{f(x)} \geq a^{g(x)} \iff f(x) \geq g(x)$.
Dacă $0 < a < 1$, se elimină baza și se inversează sensul inegalității: $a^{f(x)} \geq a^{g(x)} \iff f(x) \leq g(x)$.
4. Aplicații și probleme rezolvate pas cu pas
Problema 1 (Simplificarea expresiilor cu exponenți reali)
Să se simplifice expresia:
$E = \dfrac{2^{\sqrt8} \cdot 8^{-\sqrt2}}{4^{1-\sqrt2}}$
Rezolvare detaliată. Aducem toți termenii la baza $2$:
Înlocuim în expresie și aplicăm regulile de adunare și de scădere a exponenților:
$E = \dfrac{2^{2\sqrt2} \cdot 2^{-3\sqrt2}}{2^{2-2\sqrt2}} = \dfrac{2^{-\sqrt2}}{2^{2-2\sqrt2}} = 2^{-\sqrt2 - (2 - 2\sqrt2)} = 2^{\sqrt2 - 2}$
Rezultatul se poate scrie și sub forma $E = \dfrac{2^{\sqrt2}}{4}$.
Problema 2 (Compararea numerelor folosind monotonia)
Să se compare numerele $A = \left(\dfrac34\right)^{\sqrt5}$ și $B = \left(\dfrac34\right)^{\sqrt3}$.
Rezolvare detaliată.
$\sqrt5 > \sqrt3 \Longrightarrow \left(\dfrac34\right)^{\sqrt5} < \left(\dfrac34\right)^{\sqrt3} \Longrightarrow A < B$
Problema 3 (Inecuație exponențială cu bază subunitară)
Să se rezolve în $\mathbb{R}$ inecuația:
$\left(\dfrac13\right)^{x^2 - 4x} > 27^{1-x}$
Rezolvare detaliată.
$27 = 3^3 = \left(\dfrac13\right)^{-3} \Longrightarrow 27^{1-x} = \left(\dfrac13\right)^{-3(1-x)} = \left(\dfrac13\right)^{3x-3}$
$x^2 - 4x < 3x - 3 \iff x^2 - 7x + 3 < 0$
$\Delta = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 49 - 12 = 37 > 0 \Longrightarrow x_{1,2} = \dfrac{7 \pm \sqrt{37}}{2}$
Trinomul de gradul al doilea este negativ între rădăcini.
Problema 4 (Inecuație rezolvabilă prin substituție)
Să se rezolve în $\mathbb{R}$ inecuația $9^x - 4 \cdot 3^x + 3 \leq 0$.
Rezolvare detaliată. Observăm că $9^x = \left(3^2\right)^x = \left(3^x\right)^2$. Notăm $t = 3^x$, cu condiția $t > 0$. Inecuația devine $t^2 - 4t + 3 \leq 0$.
Rădăcinile ecuației $t^2 - 4t + 3 = 0$ sunt $t_1 = 1$ și $t_2 = 3$, deci soluția inecuației în $t$ este $t \in [1, 3]$.
Revenim la substituția $t = 3^x$:
$1 \leq 3^x \leq 3 \iff 3^0 \leq 3^x \leq 3^1$
Deoarece baza $a = 3 > 1$ este supraunitară, funcția este strict crescătoare, deci păstrăm sensul inegalităților:
$0 \leq x \leq 1 \Longrightarrow S = [0, 1]$
5. Probleme propuse
Problema 1.
Determinați aproximările zecimale prin lipsă și prin adaos de ordin $n = 0, 1, 2, 3$ pentru numerele reale:
a) $x = \sqrt5 \approx 2,23606\ldots$, folosind metoda trunchierii;
b) $x = -\sqrt2 \approx -1,41421\ldots$, folosind metoda opuselor.
Problema 2.
Comparați următoarele perechi de numere reale, folosind proprietățile de monotonie:
a) $2^{\sqrt3}$ și $2^{\sqrt5}$;
b) $\left(\dfrac12\right)^{\sqrt2}$ și $\left(\dfrac12\right)^{1,41}$;
c) $\left(\sqrt2 - 1\right)^3$ și $\left(\sqrt2 - 1\right)^{\pi}$.
Problema 3.
Simplificați expresiile algebrice:
a) $E_1 = \dfrac{3^{\sqrt{12}} \cdot 9^{1-\sqrt3}}{27^{-\frac{1}{\sqrt3}}}$;
b) $E_2 = \left(5^{\sqrt2 - 1}\right)^{\sqrt2 + 1} \cdot 25^{-\frac12}$.
Problema 4.
Rezolvați în $\mathbb{R}$ inecuațiile exponențiale fundamentale:
a) $5^{2x-1} \geq 125$;
b) $\left(\dfrac25\right)^{3x+1} < \left(\dfrac{4}{25}\right)^{x-2}$;
c) $2^{x^2 - 5x + 6} \leq 1$.
Problema 5.
Rezolvați în $\mathbb{R}$ inecuația cu dublă încadrare: $\dfrac19 \leq 3^{x^2 - 2x - 1} \leq 27$.
Problema 6.
Determinați mulțimea soluțiilor reale ale inecuației: $4^x - 3 \cdot 2^{x+1} + 8 > 0$.
Problema 7.
Rezolvați inecuația exponențială cu bază subunitară și fracții raționale: $\left(\dfrac12\right)^{\frac{x+1}{x-1}} \geq 4$.
6. Răspunsuri, indicații și soluții detaliate
Problema 1.
a) Pentru $x = \sqrt5 \approx 2,23606\ldots$: $n = 0$: $x_0' = 2$, $x_0'' = 3$; $n = 1$: $x_1' = 2,2$, $x_1'' = 2,3$; $n = 2$: $x_2' = 2,23$, $x_2'' = 2,24$; $n = 3$: $x_3' = 2,236$, $x_3'' = 2,237$.
b) Pentru $x = -\sqrt2 \approx -1,41421\ldots$, pornind de la $a = \sqrt2$, cu $a_0' = 1$, $a_0'' = 2$, $a_1' = 1,4$, $a_1'' = 1,5$, $a_2' = 1,41$, $a_2'' = 1,42$, $a_3' = 1,414$, $a_3'' = 1,415$, obținem: $n = 0$: $x_0' = -2$, $x_0'' = -1$; $n = 1$: $x_1' = -1,5$, $x_1'' = -1,4$; $n = 2$: $x_2' = -1,42$, $x_2'' = -1,41$; $n = 3$: $x_3' = -1,415$, $x_3'' = -1,414$.
Problema 2.
a) Baza $2 > 1$, deci funcția este crescătoare; din $\sqrt3 < \sqrt5$ rezultă $2^{\sqrt3} < 2^{\sqrt5}$.
b) Baza $\dfrac12 < 1$, deci funcția este descrescătoare; din $\sqrt2 \approx 1,4142 > 1,41$ rezultă $\left(\dfrac12\right)^{\sqrt2} < \left(\dfrac12\right)^{1,41}$.
c) Baza $\sqrt2 - 1 \approx 0,414 < 1$, deci funcția este descrescătoare; din $3 < \pi \approx 3,1415$ rezultă $\left(\sqrt2 - 1\right)^3 > \left(\sqrt2 - 1\right)^{\pi}$.
Problema 3.
a) $E_1 = \dfrac{3^{2\sqrt3} \cdot 3^{2 - 2\sqrt3}}{3^{-\sqrt3}} = \dfrac{3^2}{3^{-\sqrt3}} = 3^{2 + \sqrt3}$.
b) $E_2 = 5^{(\sqrt2 - 1)(\sqrt2 + 1)} \cdot 5^{-1} = 5^{2-1} \cdot 5^{-1} = 5^1 \cdot 5^{-1} = 5^0 = 1$.
Problema 4.
a) $5^{2x-1} \geq 5^3 \Longrightarrow 2x - 1 \geq 3 \Longrightarrow x \geq 2 \Longrightarrow S = [2, +\infty)$.
b) $\left(\dfrac25\right)^{3x+1} < \left(\dfrac25\right)^{2(x-2)} \Longrightarrow 3x + 1 > 2x - 4 \Longrightarrow x > -5 \Longrightarrow S = (-5, +\infty)$.
c) $2^{x^2 - 5x + 6} \leq 2^0 \Longrightarrow x^2 - 5x + 6 \leq 0 \Longrightarrow (x - 2)(x - 3) \leq 0 \Longrightarrow S = [2, 3]$.
Problema 5.
Din $3^{-2} \leq 3^{x^2 - 2x - 1} \leq 3^3$ rezultă $-2 \leq x^2 - 2x - 1 \leq 3$, adică sistemul
$\begin{cases} x^2 - 2x + 1 \geq 0 \iff (x-1)^2 \geq 0,\ (\forall)\, x \\ x^2 - 2x - 4 \leq 0 \iff x \in \left[1 - \sqrt5,\ 1 + \sqrt5\right] \end{cases}$
Deci $S = \left[1 - \sqrt5,\ 1 + \sqrt5\right]$.
Problema 6.
Cu substituția $t = 2^x > 0$ obținem $t^2 - 6t + 8 > 0$, deci $t \in (-\infty, 2) \cup (4, +\infty)$. Cum $t > 0$, rămâne $t \in (0, 2) \cup (4, +\infty)$.
Revenind: $2^x < 2 = 2^1 \Longrightarrow x < 1$, sau $2^x > 4 = 2^2 \Longrightarrow x > 2$. Deci $S = (-\infty, 1) \cup (2, +\infty)$.
Problema 7.
Din $\left(\dfrac12\right)^{\frac{x+1}{x-1}} \geq \left(\dfrac12\right)^{-2}$, baza fiind subunitară, rezultă $\dfrac{x+1}{x-1} \leq -2$, adică
$\dfrac{x + 1 + 2(x-1)}{x-1} \leq 0 \iff \dfrac{3x - 1}{x - 1} \leq 0$
Din tabelul de semn al fracției: numărătorul $3x - 1$ se anulează în $\dfrac13$, iar numitorul în $1$, valoare exclusă. Deci $S = \left[\dfrac13,\ 1\right)$.
Bibliografie