Clasa a X-a — Activități remediale | Inecuații de gradul al doilea
GHID METODIC ȘI FIȘĂ DE LUCRU — CLASA A IX-A

Inecuații de gradul al doilea

1. Cuvânt înainte și obiective didactice

Prezentul ghid metodic este conceput ca un suport didactic complet pentru studiul capitolului Inecuații de gradul al doilea la clasa a IX-a. Lucrarea îmbină rigurozitatea teoretică cu aplicații practice reprezentative, oferind elevilor un algoritm clar de lucru și un set variat de exerciții rezolvate și propuse.

Competențe specifice urmărite:

2. Noțiuni teoretice și proprietăți fundamentale

2.1. Definiția inecuației de gradul al doilea

DEFINIȚIE

O inecuație de gradul al doilea cu o necunoscută $x \in \mathbb{R}$ este o inecuație care poate fi adusă la una dintre următoarele forme standard:

$ax^2 + bx + c \leq 0, \quad ax^2 + bx + c < 0, \quad ax^2 + bx + c \geq 0, \quad$ sau $\quad ax^2 + bx + c > 0$

unde $a, b, c \in \mathbb{R}$ sunt coeficienți reali, cu $a \neq 0$.

2.2. Ecuația atașată și discriminantul

Pentru a determina semnul expresiei $f(x) = ax^2 + bx + c$, se rezolvă mai întâi ecuația atașată de gradul al doilea:

$ax^2 + bx + c = 0$

Se calculează discriminantul ecuației:

$\Delta = b^2 - 4ac$

2.3. Tabelele de semn ale funcției de gradul al doilea

Semnul funcției $f(x) = ax^2 + bx + c$ $(a \neq 0)$ depinde în mod direct de valoarea discriminantului $\Delta$:

Cazul I $(\Delta > 0)$: două rădăcini reale distincte $(x_1 < x_2)$

Ecuația atașată are două rădăcini reale distincte $x_1, x_2 = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$. În intervalul dintre rădăcini, expresia are semn contrar lui $a$, iar în afara rădăcinilor are semnul lui $a$.

$x$$-\infty$$x_1$$x_2$$+\infty$
$f(x)$semnul lui $a$$0$semn contrar lui $a$$0$semnul lui $a$

Cazul II $(\Delta = 0)$: rădăcină reală dublă $\left(x_1 = x_2 = -\dfrac{b}{2a}\right)$

Ecuația atașată are o singură rădăcină reală dublă. Expresia are semnul lui $a$ pentru orice $x \neq x_1$ și devine 0 pentru $x = x_1$.

$x$$-\infty$$x_1 = x_2$$+\infty$
$f(x)$semnul lui $a$$0$semnul lui $a$

Cazul III $(\Delta < 0)$: fără rădăcini reale

Ecuația atașată nu are rădăcini reale. Expresia păstrează semnul lui $a$ pe întreaga mulțime a numerelor reale $\mathbb{R}$.

$x$$-\infty$$+\infty$
$f(x)$semnul lui $a$  (păstrează același semn pe $\mathbb{R}$)

3. Algoritmul general de rezolvare

ALGORITM DE LUCRU PAS CU PAS

Pasul 1: Aducerea la forma standard. Se trec toți termenii în membrul stâng astfel încât în membrul drept să rămână 0.

Pasul 2: Rezolvarea ecuației atașate. Se scrie ecuația $ax^2 + bx + c = 0$ și se calculează discriminantul $\Delta = b^2 - 4ac$.

Pasul 3: Calculul rădăcinilor. Se determină rădăcinile reale $x_1, x_2$ (dacă există).

Pasul 4: Construirea tabelului de semn. Se completează tabelul de semn aplicând regula corespunzătoare cazului în care se încadrează $\Delta$.

Pasul 5: Scrierea mulțimii soluțiilor. Se selectează intervalele corespunzătoare semnului cerut de inecuație (se acordă atenție parantezelor: drepte pentru $\leq$, $\geq$ și rotunde pentru $<$, $>$).

4. Exerciții rezolvate pas cu pas

Exercițiul 1: Inecuație cu discriminant pozitiv $(\Delta > 0)$

Să se rezolve în $\mathbb{R}$ inecuația:

$x^2 - 5x + 6 \leq 0$

Rezolvare:

  1. Ecuația atașată este $x^2 - 5x + 6 = 0$.
  2. Coeficienții sunt $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$.
  3. Discriminantul: $\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 > 0$.
  4. Rădăcinile sunt: $x_1 = \dfrac{5-1}{2} = 2$ și $x_2 = \dfrac{5+1}{2} = 3$.
  5. Deoarece $a = 1 > 0$, expresia are semnul minus între rădăcini și plus în exterior.
    $x$$-\infty$$2$$3$$+\infty$
    $x^2 - 5x + 6$+++++++$0$−−−−−−−$0$+++++++

Se cere ca expresia să fie mai mică sau egală cu 0 $(\leq 0)$, deci alegem intervalul cu semnul minus (inclusiv capetele):

$S = [2, 3]$

Exercițiul 2: Inecuație cu coeficient negativ și discriminant pozitiv

Să se rezolve în $\mathbb{R}$ inecuația:

$-2x^2 + 7x - 3 > 0$

Rezolvare:

  1. Ecuația atașată este $-2x^2 + 7x - 3 = 0$.
  2. Coeficienții sunt $a = -2$, $b = 7$, $c = -3$.
  3. Discriminantul: $\Delta = 7^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-3) = 49 - 24 = 25 > 0$.
  4. Rădăcinile sunt: $x_1 = \dfrac{-7+5}{-4} = \dfrac{1}{2}$ și $x_2 = \dfrac{-7-5}{-4} = 3$.
  5. Deoarece $a = -2 < 0$, expresia are semnul plus (contrar lui $a$) între rădăcini și minus în exterior.
    $x$$-\infty$$\dfrac{1}{2}$$3$$+\infty$
    $-2x^2 + 7x - 3$−−−−−−−$0$+++++++$0$−−−−−−−

Inecuația cere valori strict pozitive $(> 0)$, deci alegem intervalul deschis dintre rădăcini:

$S = \left(\dfrac{1}{2}, 3\right)$

Exercițiul 3: Inecuație cu discriminant nul $(\Delta = 0)$

Să se rezolve în $\mathbb{R}$ inecuația:

$4x^2 - 12x + 9 \leq 0$

Rezolvare:

  1. Ecuația atașată este $4x^2 - 12x + 9 = 0$.
  2. Discriminantul: $\Delta = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0$.
  3. Rădăcina reală dublă este $x_1 = x_2 = \dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2}$.
  4. Coeficientul $a = 4 > 0$, deci expresia este strict pozitivă pentru $x \neq \dfrac{3}{2}$ și nulă în $x = \dfrac{3}{2}$.
    $x$$-\infty$$\dfrac{3}{2}$$+\infty$
    $4x^2 - 12x + 9$+++++++$0$+++++++

Se cere ca expresia să fie $\leq 0$. Singura valoare pentru care expresia nu este strict pozitivă este $x = \dfrac{3}{2}$:

$S = \left\{\dfrac{3}{2}\right\}$

Exercițiul 4: Inecuație cu discriminant negativ $(\Delta < 0)$

Să se rezolve în $\mathbb{R}$ inecuația:

$x^2 + 2x + 5 > 0$

Rezolvare:

  1. Ecuația atașată este $x^2 + 2x + 5 = 0$.
  2. Discriminantul: $\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16 < 0$.
  3. Deoarece $\Delta < 0$ și $a = 1 > 0$, expresia $x^2 + 2x + 5$ este strict pozitivă pentru orice $x \in \mathbb{R}$.
    $x$$-\infty$$+\infty$
    $x^2 + 2x + 5$+++++++++++++++

Prin urmare, inecuația este verificată pentru orice număr real:

$S = \mathbb{R}$

Exercițiul 5: Inecuație sub formă de produs de factori

Să se rezolve în $\mathbb{R}$ inecuația:

$(x^2 - 4)(x^2 - 3x) \leq 0$

Rezolvare:

  1. Determinăm rădăcinile primului factor: $x^2 - 4 = 0 \Longrightarrow x_1 = -2$, $x_2 = 2$.
  2. Determinăm rădăcinile celui de-al doilea factor: $x^2 - 3x = 0 \Longrightarrow x(x - 3) = 0 \Longrightarrow x_3 = 0$, $x_4 = 3$.
  3. Ordonăm rădăcinile crescător: $-2$, $0$, $2$, $3$.
  4. Construim tabelul de semn reunit pentru produsul celor doi factori:
    $x$$-\infty$$-2$$0$$2$$3$$+\infty$
    $x^2 - 4$+++++$0$−−−−−−−−−−−−−$0$+++++++++++++
    $x^2 - 3x$+++++++++++++$0$−−−−−−−−−−−−−$0$+++++
    $P(x)$+++++$0$−−−−−$0$+++++$0$−−−−−$0$+++++

Se cere ca $P(x) \leq 0$. Citim din tabel intervalele cu semnul minus și valorile nule:

$S = [-2, 0] \cup [2, 3]$

Exercițiul 6: Inecuație rațională (cât)

Să se rezolve în $\mathbb{R}$ inecuația:

$\dfrac{x^2 - 1}{x^2 - 4x + 3} \geq 0$

Rezolvare:

  1. Condiția de existență: Numitorul trebuie să fie diferit de zero:

    $x^2 - 4x + 3 \neq 0 \Longrightarrow (x - 1)(x - 3) \neq 0 \Longrightarrow x \in \mathbb{R} \setminus \{1, 3\}$

  2. Rădăcinile numărătorului: $x^2 - 1 = 0 \Longrightarrow x = -1$ sau $x = 1$.
  3. Rădăcinile numitorului: $x = 1$ și $x = 3$.
  4. Construim tabelul de semn reunit. Se observă că în $x = 1$ câtul nu este definit (numitorul devine 0):
    $x$$-\infty$$-1$$1$$3$$+\infty$
    $x^2 - 1$+++++$0$−−−−−$0$+++++++++++++
    $x^2 - 4x + 3$+++++++++++++$0$−−−−−$0$+++++
    $E(x)$+++++$0$−−−−−$|$−−−−−$|$+++++

    Bara verticală marchează valorile pentru care câtul nu este definit.

Inecuația cere ca $E(x) \geq 0$. Din tabel, luând în considerare condițiile $x \neq 1$ și $x \neq 3$, obținem:

$S = (-\infty, -1] \cup (3, +\infty)$

5. Temă pentru acasă

SĂ SE REZOLVE ÎN ℝ URMĂTOARELE INECUAȚII ȘI SISTEME DE INECUAȚII
  1. $x^2 - 7x + 10 < 0$
  2. $-3x^2 + 5x - 2 \geq 0$
  3. $x^2 - 6x + 9 > 0$
  4. $2x^2 - 3x + 5 \leq 0$
  5. $(2x - 1)^2 \leq (x + 2)^2$
  6. $\dfrac{x^2 - 9}{x^2 + 1} \leq 0$
  7. $(x^2 - x - 2)(x^2 - 4) \leq 0$
  8. $\dfrac{2x - 1}{x^2 - 5x + 6} \geq 0$
  9. $\begin{cases} x^2 - 4x + 3 \leq 0 \\ x^2 - 6x + 5 \geq 0 \end{cases}$
  10. Să se determine valorile parametrului real $m$ pentru care inecuația $x^2 + (m + 1)x + m + 4 > 0$ este verificată pentru orice $x \in \mathbb{R}$.

6. Răspunsuri și indicații de rezolvare

  1. Indicație: $x_1 = 2$, $x_2 = 5$. Expresia are semnul minus între rădăcini. Soluție: $S = (2, 5)$.
  2. Indicație: Coeficient $a = -3 < 0$, rădăcini $x_1 = \dfrac{2}{3}$, $x_2 = 1$. Semnul plus se obține între rădăcini. Soluție: $S = \left[\dfrac{2}{3}, 1\right]$.
  3. Indicație: Se restrânge sub forma $(x - 3)^2 > 0$. Pătratul unui număr real este strict pozitiv pentru orice valoare diferită de 3. Soluție: $S = \mathbb{R} \setminus \{3\}$.
  4. Indicație: $\Delta = 9 - 40 = -31 < 0$ și $a = 2 > 0$. Expresia este strict pozitivă pe $\mathbb{R}$, deci nu poate fi $\leq 0$. Soluție: $S = \emptyset$.
  5. Indicație: Se desfac parantezele: $4x^2 - 4x + 1 \leq x^2 + 4x + 4 \Longrightarrow 3x^2 - 8x - 3 \leq 0$. Rădăcinile sunt $x_1 = -\dfrac{1}{3}$, $x_2 = 3$. Soluție: $S = \left[-\dfrac{1}{3}, 3\right]$.
  6. Indicație: Deoarece $x^2 + 1 > 0$ pentru orice $x \in \mathbb{R}$, inecuația este echivalentă cu $x^2 - 9 \leq 0$. Soluție: $S = [-3, 3]$.
  7. Indicație: Descompunem în factori: $(x + 1)(x - 2) \cdot (x - 2)(x + 2) = (x + 1)(x + 2)(x - 2)^2 \leq 0$. Din tabelul de semn rezultă $S = \{-2\} \cup [-1, 2]$.
  8. Indicație: Condiții: $x \neq 2$, $x \neq 3$. Rădăcina numărătorului este $x = \dfrac{1}{2}$. Din tabelul de semn reunit se obține Soluția: $S = \left[\dfrac{1}{2}, 2\right) \cup (3, +\infty)$.
  9. Indicație: Prima inecuație are soluția $S_1 = [1, 3]$. A doua inecuație are soluția $S_2 = (-\infty, 1] \cup [5, +\infty)$. Soluția sistemului este $S = S_1 \cap S_2 = \{1\}$.
  10. Indicație: Condiția ca $x^2 + (m + 1)x + m + 4 > 0$ pentru orice $x \in \mathbb{R}$ este ca $\Delta < 0$ (fiindcă $a = 1 > 0$). $\Delta = (m + 1)^2 - 4(m + 4) = m^2 - 2m - 15 < 0$. Rădăcinile sunt $m_1 = -3$, $m_2 = 5$. Soluție: $m \in (-3, 5)$.