Produsul conține $C_n^2 = \dfrac{n(n-1)}{2}$ factori de forma $F_{ij} = \dfrac{\sigma(j) - \sigma(i)}{j - i}$. Deoarece $\sigma$ este bijectivă, mulțimea $\{|\sigma(j) - \sigma(i)| \mid 1 \leq i < j \leq n\}$ coincide cu mulțimea $\{j - i \mid 1 \leq i < j \leq n\}$. Ca urmare, după simplificare, valoarea absolută a produsului este $1$.

Semnul fiecărui factor $F_{ij}$ este dat de:

• $F_{ij} > 0$, egal cu $+1$, dacă $\sigma(i) < \sigma(j)$, adică perechea este ordonată natural;
• $F_{ij} < 0$, egal cu $-1$, dacă $\sigma(i) > \sigma(j)$, adică perechea este o inversiune.

Așadar, numărul factorilor negativi este exact $m(\sigma)$, de unde rezultă că produsul este $(-1)^{m(\sigma)} = \varepsilon(\sigma)$. $\square$

Fie permutarea $\sigma \in S_3$, $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$. Să se calculeze signatura permutării $\sigma$ folosind formula de produs.

Rezolvare. Perechile $(i, j)$ cu $1 \leq i < j \leq 3$ sunt $(1, 2)$, $(1, 3)$ și $(2, 3)$, iar relația devine:

$$\varepsilon(\sigma) = \frac{\sigma(2) - \sigma(1)}{2 - 1} \cdot \frac{\sigma(3) - \sigma(1)}{3 - 1} \cdot \frac{\sigma(3) - \sigma(2)}{3 - 2}$$

Înlocuim valorile $\sigma(1) = 2$, $\sigma(2) = 3$, $\sigma(3) = 1$:

$$\varepsilon(\sigma) = \frac{3 - 2}{1} \cdot \frac{1 - 2}{2} \cdot \frac{1 - 3}{1} = 1 \cdot \left(-\frac12\right) \cdot (-2) = +1$$

Rezultă $\varepsilon(\sigma) = +1$, deci $\sigma$ este o permutare pară.

Verificare prin inversiuni. Inversiunile sunt $(1, 3)$, deoarece $2 > 1$, și $(2, 3)$, deoarece $3 > 1$. Așadar $m(\sigma) = 2$, iar $\varepsilon(\sigma) = (-1)^2 = +1$.

Deoarece $\sigma \circ \sigma^{-1} = e$, avem $\varepsilon(\sigma \circ \sigma^{-1}) = \varepsilon(e) = 1$, de unde $\varepsilon(\sigma) \cdot \varepsilon(\sigma^{-1}) = 1$. Cum $\varepsilon(\sigma) \in \{-1, +1\}$, deducem că:

$$\varepsilon(\sigma^{-1}) = \varepsilon(\sigma)$$

Notăm cu $I_n = S_n \setminus A_n$ mulțimea tuturor permutărilor impare de gradul $n$. Fixăm o transpoziție oarecare $\tau_{ij} = (i, j) \in S_n$; știm că $\varepsilon(\tau_{ij}) = -1$. Definim funcția:

$$f\colon A_n \to I_n,\quad f(\sigma) = \tau_{ij} \circ \sigma$$

1. Corecta definire. Pentru orice $\sigma \in A_n$ avem

$$\varepsilon(f(\sigma)) = \varepsilon(\tau_{ij} \circ \sigma) = \varepsilon(\tau_{ij}) \cdot \varepsilon(\sigma) = (-1) \cdot 1 = -1,$$

deci $f(\sigma) \in I_n$.

2. Injectivitatea. Din $f(\sigma_1) = f(\sigma_2)$ rezultă $\tau_{ij} \circ \sigma_1 = \tau_{ij} \circ \sigma_2$, deci $\sigma_1 = \sigma_2$.

3. Surjectivitatea. Pentru orice $\pi \in I_n$, permutarea $\sigma = \tau_{ij} \circ \pi \in A_n$ satisface $f(\sigma) = \tau_{ij} \circ (\tau_{ij} \circ \pi) = \pi$.

Funcția $f$ fiind bijectivă, rezultă $|A_n| = |I_n|$. Cum $S_n = A_n \cup I_n$, reuniune disjunctă, avem

$$|A_n| + |I_n| = n! \Longrightarrow 2|A_n| = n! \Longrightarrow |A_n| = \frac{n!}{2}. \ \square$$

Să se determine numărul permutărilor pare din mulțimea $S_7$.

Soluție. Numărul permutărilor pare de gradul $7$ este cardinalul grupului altern $A_7$:

$$|A_7| = \frac{|S_7|}{2} = \frac{7!}{2} = \frac{5040}{2} = 2520.$$

Să se determine cardinalul mulțimii $S_n$, știind că numărul permutărilor pare din $S_n$ satisface relația $|A_n| = 21 \cdot (n - 2)!$.

Soluție. Folosind formula $|A_n| = \dfrac{n!}{2}$, ecuația devine:

$$\frac{n!}{2} = 21 \cdot (n-2)! \iff \frac{n(n-1)(n-2)!}{2} = 21 \cdot (n-2)! \iff \frac{n(n-1)}{2} = 21.$$

Obținem $n(n-1) = 42$, adică $n^2 - n - 42 = 0$, cu soluțiile $n_1 = 7$ și $n_2 = -6$. Cum $n \in \mathbb{N}^*$ și $n \geq 2$, reținem $n = 7$. Așadar, mulțimea $S_7$ are $|S_7| = 7! = 5040$ elemente.

În algebra liniară, signatura unei permutări joacă un rol fundamental în definirea determinantului unei matrice pătratice $A = \left(a_{ij}\right)_{i, j = \overline{1, n}} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$:

$$\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon(\sigma) \cdot a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} \ldots a_{n\sigma(n)}$$

Fiecare termen din suma determinantului reprezintă un produs de $n$ elemente ale matricei, câte unul de pe fiecare rând și fiecare coloană, având semnul stabilit de signatura permutării coloanelor $\sigma \in S_n$.

De exemplu, pentru $n = 2$ avem $S_2 = \{e, \tau_{12}\}$, cu $\varepsilon(e) = 1$ și $\varepsilon(\tau_{12}) = -1$, de unde obținem formula cunoscută:

$$\det(A) = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$$

Pentru o permutare $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \dots & n \\ \sigma(1) & \sigma(2) & \dots & \sigma(n) \end{pmatrix}$ se definește vectorul inversiunilor:

$$t(\sigma) = (t_1, t_2, \ldots, t_n),$$

unde $t_k$ reprezintă numărul de elemente mai mari decât $k$ situate la stânga lui $k$ pe rândul al doilea al permutării. Suma componentelor tabelei este egală cu numărul total de inversiuni:

$$m(\sigma) = \sum_{k=1}^{n} t_k$$

Această metodă oferă un algoritm rapid de calcul al numărului de inversiuni, fără compararea exhaustivă a tuturor perechilor.

Grupul altern $A_n$ este un subgrup normal de indice $2$ în $S_n$. Aceasta înseamnă că:

• produsul a două permutări pare este o permutare pară: $\varepsilon(\sigma\tau) = 1 \cdot 1 = 1$;
• inversa unei permutări pare este o permutare pară: $\varepsilon(\sigma^{-1}) = \varepsilon(\sigma) = 1$;
• pentru orice $\sigma \in S_n$ și orice $\alpha \in A_n$, permutarea conjugată $\sigma \alpha \sigma^{-1}$ este pară.

Burtea, M., & Burtea, G. (2006). Matematică: Manual pentru clasa a XI-a: Trunchi comun + curriculum diferențiat: M1. Editura Carminis.