Axa numerelor reale
Axa numerelor reale (axa numerică) reprezintă o dreaptă $d$ pe care s-a stabilit o origine $O$, un segment unitate și un sens pozitiv de parcurs.
Corespondența bijectivă dintre axa numerelor și mulțimea numerelor reale
Mulțimea $\mathbb{R}$ a numerelor reale este pusă în corespondență bijectivă cu axa numerică. Fiecărui număr real $x \in \mathbb{R}$ i se asociază un unic punct $M$ de pe dreapta $d$ pentru care numărul real $x$ reprezintă abscisa acestuia și se scrie $M(x)$.
În acest mod mulțimea numerelor reale se poate identifica cu axa numerică. Fiecare punct al dreptei este identificat cu numărul real care reprezintă abscisa sa. Astfel, dacă $x \in \mathbb{R}$, se poate spune „punctul $x$", înțelegându-se prin aceasta „punctul de pe dreaptă care are abscisa $x$".
Compararea a două numere reale după poziția lor pe axă
Dacă $x, y \in \mathbb{R}$ sunt două numere reale, iar $M(x)$, $N(y)$ sunt punctele asociate acestora pe axa numerică, vom spune că $x$ este mai mic decât $y$ și vom scrie $x < y$, dacă pe axa numerică punctul $M$ este situat în stânga lui $N$.
Proprietatea de trihotomie
Între numerele reale $x$ și $y$ există doar una din relațiile: $x < y$, $x = y$ sau $y < x$.
Observație – Relația mai mic sau egal pe mulțimea numerelor reale
Din proprietatea de trihotomie rezultă că dacă numărul real $x$ nu este mai mare decât numărul real $y$, atunci $x$ este mai mic sau egal cu $y$, și vom scrie $x \leq y$.
Așadar, $x \leq y$ dacă și numai dacă $x < y$ sau $x = y$.
Relația $\leq$ se numește relație de ordine pe $\mathbb{R}$ și are proprietățile:
P1. Proprietatea de reflexivitate
Dacă $x \in \mathbb{R}$, atunci $x \leq x$.
P2. Proprietatea de antisimetrie
Dacă $x, y \in \mathbb{R}$ și $x \leq y$, $y \leq x$, atunci $x = y$.
P3. Proprietatea de tranzitivitate
Dacă $x, y, z \in \mathbb{R}$ și $x \leq y$, $y \leq z$, atunci $x \leq z$.
P4. Proprietatea de ordine totală
Dacă $x, y \in \mathbb{R}$, atunci fie $x \leq y$, fie $y \leq x$.
P5. Proprietatea de compatibilitate cu operațiile de adunare și înmulțire pe $\mathbb{R}$:
Dacă $x, y \in \mathbb{R}$ și $x \leq y$, atunci $x + a \leq y + a$, $(\forall)a \in \mathbb{R}$.
Dacă $x, y \in \mathbb{R}$ și $x \leq y$, atunci $a \cdot x \leq a \cdot y$, $(\forall)a \in [0, +\infty)$.
În legătură cu relația de ordine $x \leq y$ pe $\mathbb{R}$ menționăm și următoarele rezultate:
P6. Axioma lui Arhimede
Pentru oricare număr $x \in \mathbb{R}$ există un număr întreg unic $n \in \mathbb{Z}$, astfel încât $n \leq x < n + 1$. Numărul $n \in \mathbb{Z}$, cu această proprietate se numește partea întreagă a lui $x$ și se notează cu $[x]$.
P7. Proprietatea de densitate a mulțimii $\mathbb{Q}$
Dacă $x, y \in \mathbb{R}$, $x < y$, atunci există $r \in \mathbb{Q}$, astfel încât $x < r < y$.
Proprietatea P7 arată că mulțimea $\mathbb{Q}$ a numerelor raționale este mulțime densă în $\mathbb{R}$.
Observație
Vom spune că $(\mathbb{R}, +, \cdot, \leq)$ este un corp comutativ total ordonat.
Bibliografie