Lecția 5 — Structura topologică a lui ℝ
ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ
CAPITOLUL I. MULȚIMEA NUMERELOR REALE

Lecția 5. Structura topologică a mulțimii numerelor reale

Noțiunile de limită și continuitate își au originea în Antichitate și sunt datorate contribuției multor minți strălucite ale unor matematicieni și filozofi, printre care Aristotel și Arhimede. Procedeul modern de trecere la limită s-a cristalizat abia în secolul al XIX-lea prin contribuția unor mari matematicieni: B. Riemann, G. Cantor, A. Cauchy, N. Abel etc. Vom prezenta câteva noțiuni de topologie a dreptei reale, strict necesare în cele ce urmează.

Vecinătățile unui punct pe axa reală
Definiții

1) Mulțimea \(V \subset \overline{\mathbb{R}}\) se numește vecinătate a punctului \(x_0 \in \mathbb{R}\), dacă există un interval deschis \(I\) astfel încât \(x_0 \in I \subset V\).

2) Mulțimea \(V \subset \overline{\mathbb{R}}\) se numește vecinătate a lui \(+\infty\) dacă există un interval deschis de forma \(I = (a, +\infty)\) astfel încât \(I \subset V\).

3) Mulțimea \(V \subset \overline{\mathbb{R}}\) se numește vecinătate a lui \(-\infty\), dacă există un interval deschis de forma \(I = (-\infty, a)\) astfel încât \(I \subset V\).

( ) ( ) x₀ a b V −∞ +∞
Observații
  1. Un punct \(x_0 \in \overline{\mathbb{R}}\) are oricât de multe vecinătăți. Vom nota mulțimea vecinătăților lui \(x_0\) cu \(\mathcal{V}(x_0)\).
  2. Orice interval deschis \((a,b)\), \(a, b \in \overline{\mathbb{R}}\), \(a < b\), este vecinătate pentru oricare \(x_0 \in (a,b)\).
  3. Intervalele centrate în \(x_0 \in \mathbb{R}\) sunt vecinătăți pentru \(x_0\). Ele se numesc vecinătăți centrate ale punctului \(x_0\).
  4. Fiecărei vecinătăți \(V \in \mathcal{V}(x_0)\) îi corespunde o vecinătate centrată \(V_\varepsilon = (x_0 - \varepsilon, x_0 + \varepsilon)\) astfel încât \(V_\varepsilon \subset V\).
Proprietăți ale vecinătăților unui punct \(x_0 \in \mathbb{R}\)
P1.\(x_0 \in V\), pentru oricare \(V \in \mathcal{V}(x_0)\).
P2.Dacă \(V_1, V_2 \in \mathcal{V}(x_0)\), atunci \(V_1 \cap V_2 \in \mathcal{V}(x_0)\).
P3.Dacă \(V \in \mathcal{V}(x_0)\) și \(V \subset U\), atunci \(U \in \mathcal{V}(x_0)\).
P4.Dacă \(V \in \mathcal{V}(x_0)\), atunci există \(U \in \mathcal{V}(x_0)\) astfel încât \(V\) este vecinătate pentru oricare \(y \in U\).
Observație

Intersecția unui număr finit de vecinătăți ale lui \(x_0 \in \mathbb{R}\) este vecinătate a lui \(x_0\), dar intersecția unui număr infinit de vecinătăți poate să nu mai fie vecinătate a lui \(x_0\).

Exemple

1. Fie \(V_n = \!\left[-1 - \tfrac{1}{n},\; 1 + \tfrac{1}{n}\right] \in \mathcal{V}(0)\), \(n \geq 1\). Avem \(\bigcup_{n \geq 1} V_n = [-1, 1]\), care este vecinătate pentru \(x = 0\).

2. Fie \(V_n = \!\left(-\tfrac{1}{n},\; \tfrac{1}{n}\right) \in \mathcal{V}(0)\), \(n \geq 1\). Rezultă că \(\bigcap_{n \geq 1} V_n = \{0\}\), care nu este vecinătate pentru \(0\).

Teorema 3 — Teorema de separare

Fie \(x, y \in \mathbb{R}\) puncte diferite de pe dreapta reală. Atunci există vecinătățile \(V \in \mathcal{V}(x)\) și \(U \in \mathcal{V}(y)\), astfel încât \(V \cap U = \emptyset\).

Puncte de acumulare ale unei mulțimi

Fie \(A \subset \mathbb{R}\) o mulțime nevidă.

Definiții

1) Numărul \(x_0 \in \overline{\mathbb{R}}\) se numește punct de acumulare al mulțimii \(A\), dacă pentru orice vecinătate \(V \in \mathcal{V}(x_0)\), rezultă că \(A \cap (V \setminus \{x_0\}) \neq \emptyset\).

2) Un punct \(x_0 \in A\) se numește punct izolat al mulțimii \(A\) dacă nu este punct de acumulare al mulțimii \(A\).

Mulțimea punctelor de acumulare ale mulțimii \(A\) se notează \(A'\).

Observații
  1. Fie \(A \subset \mathbb{R}\) o mulțime nevidă; \(x \in \mathbb{R}\) se numește punct izolat al mulțimii \(A\) dacă \(x \in A \setminus A'\).
  2. \(x \in A \subset \mathbb{R}\) este punct izolat al mulțimii \(A\) dacă \((\exists)\, V \in \mathcal{V}(x)\) astfel încât \(V \cap (A \setminus \{x\}) = \emptyset\).
Exemple
  1. Fie \(A = (0, 1)\). Atunci \(A' = [0, 1]\).
  2. Dacă \(A = \{1\}\), atunci \(A' = \emptyset\).
  3. Orice mulțime finită și nevidă \(A \subset \mathbb{R}\) nu are puncte de acumulare (\(A' = \emptyset\)).
  4. Pentru \(A = \mathbb{Q}\) avem \(A' = \overline{\mathbb{R}}\), deoarece în orice vecinătate \(V \in \mathcal{V}(x_0)\), \(x_0 \in \overline{\mathbb{R}}\), se găsesc o infinitate de numere raționale.
  5. Dacă \(A = (a, b)\), unde \(a, b \in \mathbb{R}\), \(a < b\), atunci \(A' = [a, b]\).
  6. Dacă \(A = (2, 3) \cup \{4\}\), atunci \(A' = [2, 3]\).
  7. În \(\overline{\mathbb{R}}\) au loc: \(\mathbb{N}' = \{+\infty\}\), \(\mathbb{Z}' = \{-\infty, +\infty\}\), \(\mathbb{Q}' = \overline{\mathbb{R}}\), \((\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q})' = \overline{\mathbb{R}}\).

Explicație (ex. 7): \((\forall)\, n \in \mathbb{N}\), \(n\) este punct izolat al lui \(\mathbb{N}\) deoarece \((\exists)\, V = \!\left(n - \tfrac{1}{2},\; n + \tfrac{1}{2}\right) \in \mathcal{V}(n)\) astfel încât \(V \cap (\mathbb{N} \setminus \{n\}) = \emptyset\). Orice vecinătate a lui \(+\infty\) conține cel puțin un număr natural.

Bibliografie

  • Burtea, M., & Burtea, G. (2006). Matematică: Manual pentru clasa a XI-a: Trunchi comun + curriculum diferențiat: M1. Editura Carminis.
  • Chițeș, C., & Petriceanu, D. (2002). Matematică: Manual pentru clasa a X-a. Editura Sigma.