CAPITOLUL II. FUNCȚII ELEMENTARE

Sinteză recapitulativă

Proprietățile funcțiilor elementare și graficele lor

1. Funcția putere cu exponent natural

Exponent par: f(x) = x^2k

Exponent impar: f(x) = x^2k+1

Proprietatea	Exponent par: f(x) = x^2k	Exponent impar: f(x) = x^2k+1

2. Funcția putere cu exponent întreg negativ

Exponent negativ par: f(x) = x^−2k

Exponent negativ impar: f(x) = x^−(2k+1)

Proprietatea	Exponent negativ par: f(x) = x^−2k	Exponent negativ impar: f(x) = x^−(2k+1)

3. Funcția radical de ordin n, n ≥ 2

Ordin par: f(x) = ^2k√ x

Ordin impar: f(x) = ^2k+1√ x

Proprietatea	Ordin par: f(x) = ^2k√ x	Ordin impar: f(x) = ^2k+1√ x

4. Funcția putere cu exponent real

f : (0, +∞) → (0, +∞), f(x) = x^α, cu α ∈ ℝ. Forma graficului depinde de semnul lui α și de poziția lui α față de 1.

α > 1 și 0 < α < 1

α < 0

Proprietatea	Funcția f : (0, +∞) → (0, +∞), f(x) = x^α, α ∈ ℝ
1. Definiția	Pentru x > 0 și α ∈ ℝ: x^α = e^{α · ln x}
2. Domeniul de definiție	Pentru a putea folosi orice exponent real, baza trebuie să fie strict pozitivă ⇒ D = (0, +∞)
3. Mulțimea valorilor	Im f = f(D) = (0, +∞)
4. Semnul funcției	Pentru orice x ∈ (0, +∞), x^α > 0, deci graficul se află deasupra axei Ox
5. Punct comun	Oricare ar fi α ∈ ℝ, avem 1^α = 1, deci toate graficele trec prin punctul A(1, 1)
6. Intersecția cu axele	Graficul nu intersectează axele de coordonate
7. Paritatea	Domeniul (0, +∞) nu este mulțime simetrică, deci nu se pune problema studierii parității sau imparității funcției
8. Monotonia	Pentru α > 0 funcția este strict crescătoare, iar pentru α < 0 este strict descrescătoare pe (0, +∞)
9. Puncte de extrem	Nu are puncte de extrem
10. Convexitate / concavitate	Pentru α > 1 sau α < 0, graficul este convex; pentru 0 < α < 1, graficul este concav
11. Limitele pentru α > 0	lim_{x→0, x>0} x^α = 0 și lim_x→+∞ x^α = +∞
12. Limitele pentru α < 0	lim_{x→0, x>0} x^α = +∞ și lim_x→+∞ x^α = 0
13. Asimptote	Pentru α > 0 graficul nu admite asimptotă orizontală la +∞ și nici asimptotă verticală; pentru α < 0 graficul admite asimptotă verticală x = 0 (axa Oy), la dreapta în 0, și asimptotă orizontală y = 0 (axa Ox), la +∞
14. Continuitate	Într-un punct oarecare x₀ ∈ (0, +∞): lim_x→x₀ x^α = x₀^α = f(x₀), deci funcția este continuă pe (0, +∞)
15. Derivabilitate	f ′(x) = α·x^α−1, iar semnul derivatei este dat de semnul lui α
16. Injectivitate / surjectivitate	Injectivă: da, oricare ar fi α ≠ 0. Surjectivă pe ℝ: nu, deoarece Im f = (0, +∞) ≠ ℝ
17. Restricția bijectivă și inversa	f₁ : (0, +∞) → (0, +∞), f₁(x) = x^α, cu inversa f₁⁻¹(x) = x^1/α
18. Cazul α = 0	f(x) = x⁰ = 1 pentru orice x > 0, deci funcția este constantă, cu graficul inclus în dreapta y = 1
19. Reguli de calcul	Pentru x, y > 0 și α, β ∈ ℝ: x^α · x^β = x^α+β, (x^α)^β = x^α·β, (xy)^α = x^α · y^α

5. Funcția exponențială

Baza supraunitară: a > 1

Baza subunitară: 0 < a < 1

Proprietatea	Baza supraunitară: a > 1	Baza subunitară: 0 < a < 1

6. Funcția logaritmică

Baza supraunitară: a > 1

Baza subunitară: 0 < a < 1

Proprietatea	Baza supraunitară: a > 1	Baza subunitară: 0 < a < 1

7. Funcția sinus și funcția arcsinus

sin : ℝ → [−1, 1]; îngroșat, restricția bijectivă pe [−π/2, π/2]

arcsin : [−1, 1] → [−π/2, π/2], simetric față de prima bisectoare

Proprietățile funcției sin : ℝ → ℝ	Proprietățile funcției arcsin : [−1, 1] → [−π/2, π/2]
Este periodică cu perioada principală 2π, astfel sin(x + 2π) = sin x, ∀x ∈ ℝ. Este funcție impară, sin(−x) = −sin x, ∀x ∈ ℝ. Este crescătoare pe intervalele de forma [(4k − 1)π2, (4k + 1)π2] și descrescătoare pe intervalele [(4k + 1)π2, (4k + 3)π2], unde k ∈ ℤ. Este mărginită, −1 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ. În punctele (4k − 1)π2, k ∈ ℤ are puncte de minim, minimul funcției fiind −1, iar în punctele (4k + 1)π2, k ∈ ℤ are puncte de maxim, maximul funcției fiind 1. În punctele kπ se anulează, deci sin kπ = 0, k ∈ ℤ. Este convexă pe intervalele [(2k − 1)π, 2kπ] și concavă pe intervalele [2kπ, (2k + 1)π] (k ∈ ℤ). Restricția sin : [−π2, π2] → [−1, 1] este bijectivă.	Este crescătoare pe [−1, 1]. Este funcție impară. Se anulează în punctul 0. Este concavă pe [−1, 0] și convexă pe [0, 1].

Proprietățile funcției sin : ℝ → ℝ

Proprietățile funcției arcsin : [−1, 1] → [−π/2, π/2]

Este periodică cu perioada principală 2π, astfel sin(x + 2π) = sin x, ∀x ∈ ℝ.
Este funcție impară, sin(−x) = −sin x, ∀x ∈ ℝ.
Este crescătoare pe intervalele de forma [(4k − 1)π2, (4k + 1)π2] și descrescătoare pe intervalele [(4k + 1)π2, (4k + 3)π2], unde k ∈ ℤ.
Este mărginită, −1 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ. În punctele (4k − 1)π2, k ∈ ℤ are puncte de minim, minimul funcției fiind −1, iar în punctele (4k + 1)π2, k ∈ ℤ are puncte de maxim, maximul funcției fiind 1.
În punctele kπ se anulează, deci sin kπ = 0, k ∈ ℤ.
Este convexă pe intervalele [(2k − 1)π, 2kπ] și concavă pe intervalele [2kπ, (2k + 1)π] (k ∈ ℤ).
Restricția sin : [−π2, π2] → [−1, 1] este bijectivă.

Este crescătoare pe [−1, 1].
Este funcție impară.
Se anulează în punctul 0.
Este concavă pe [−1, 0] și convexă pe [0, 1].

8. Funcția cosinus și funcția arccosinus

cos : ℝ → [−1, 1]; îngroșat, restricția bijectivă pe [0, π]

arccos : [−1, 1] → [0, π], simetric față de prima bisectoare

Proprietățile funcției cos : ℝ → ℝ	Proprietățile funcției arccos : [−1, 1] → [0, π]
Este periodică cu perioada principală 2π, astfel cos(x + 2π) = cos x, ∀x ∈ ℝ. Este funcție pară, cos(−x) = cos x, ∀x ∈ ℝ. Este crescătoare pe intervalele de forma [(2k − 1)π, 2kπ] și descrescătoare pe intervalele [2kπ, (2k + 1)π], unde k ∈ ℤ. Este mărginită, −1 ≤ cos x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ. În punctele (2k − 1)π, k ∈ ℤ are puncte de minim, minimul funcției fiind −1, iar în punctele 2kπ, k ∈ ℤ are puncte de maxim, maximul funcției fiind 1. În punctele (2k + 1)π2 se anulează, deci cos (2k + 1)π2 = 0, k ∈ ℤ. Este convexă pe intervalele [(4k + 1)π2, (4k + 3)π2] și concavă pe intervalele [(4k − 1)π2, (4k + 1)π2] (k ∈ ℤ). Restricția cos : [0, π] → [−1, 1] este bijectivă. cos(x − π2) = sin x, ∀x ∈ ℝ.	Este descrescătoare pe [−1, 1]. Nu este nici pară, nici impară. Se anulează în punctul 1. Este convexă pe [−1, 0] și concavă pe [0, 1].

Proprietățile funcției cos : ℝ → ℝ

Proprietățile funcției arccos : [−1, 1] → [0, π]

Este periodică cu perioada principală 2π, astfel cos(x + 2π) = cos x, ∀x ∈ ℝ.
Este funcție pară, cos(−x) = cos x, ∀x ∈ ℝ.
Este crescătoare pe intervalele de forma [(2k − 1)π, 2kπ] și descrescătoare pe intervalele [2kπ, (2k + 1)π], unde k ∈ ℤ.
Este mărginită, −1 ≤ cos x ≤ 1, ∀x ∈ ℝ. În punctele (2k − 1)π, k ∈ ℤ are puncte de minim, minimul funcției fiind −1, iar în punctele 2kπ, k ∈ ℤ are puncte de maxim, maximul funcției fiind 1.
În punctele (2k + 1)π2 se anulează, deci cos (2k + 1)π2 = 0, k ∈ ℤ.
Este convexă pe intervalele [(4k + 1)π2, (4k + 3)π2] și concavă pe intervalele [(4k − 1)π2, (4k + 1)π2] (k ∈ ℤ).
Restricția cos : [0, π] → [−1, 1] este bijectivă.
cos(x − π2) = sin x, ∀x ∈ ℝ.

Este descrescătoare pe [−1, 1].
Nu este nici pară, nici impară.
Se anulează în punctul 1.
Este convexă pe [−1, 0] și concavă pe [0, 1].

9. Funcția tangentă și funcția arctangentă

tg, cu asimptotele verticale x = π/2 + kπ; îngroșat, restricția bijectivă pe (−π/2, π/2)

arctg : ℝ → (−π/2, π/2), cu asimptotele orizontale y = ±π/2

Proprietățile funcției tg	Proprietățile funcției arctg : ℝ → (−π/2, π/2)
Este periodică cu perioada principală π, astfel tg(x + π) = tg x, ∀x ∈ ℝ \ {(2k + 1)π2 \| k ∈ ℤ}. Este funcție impară, tg(−x) = −tg x, ∀x ∈ ℝ \ {(2k + 1)π2 \| k ∈ ℤ}. Este crescătoare pe intervalele de forma ((2k − 1)π2, (2k + 1)π2), k ∈ ℤ. Este surjectivă. În punctele kπ se anulează, deci tg kπ = 0, k ∈ ℤ. Este convexă pe intervalele [kπ, (2k + 1)π2) și concavă pe intervalele ((2k − 1)π2, kπ], (k ∈ ℤ). Restricția tg : (−π2, π2) → ℝ este bijectivă.	Este crescătoare pe ℝ. Este impară, arctg(−x) = −arctg x. Se anulează în punctul 0. Este mărginită −π2 < arctg x < π2, ∀x ∈ ℝ. Este convexă pe ℝ₋ și concavă pe ℝ₊.

Proprietățile funcției tg

Proprietățile funcției arctg : ℝ → (−π/2, π/2)

Este periodică cu perioada principală π, astfel tg(x + π) = tg x, ∀x ∈ ℝ \ {(2k + 1)π2 | k ∈ ℤ}.
Este funcție impară, tg(−x) = −tg x, ∀x ∈ ℝ \ {(2k + 1)π2 | k ∈ ℤ}.
Este crescătoare pe intervalele de forma ((2k − 1)π2, (2k + 1)π2), k ∈ ℤ.
Este surjectivă.
În punctele kπ se anulează, deci tg kπ = 0, k ∈ ℤ.
Este convexă pe intervalele [kπ, (2k + 1)π2) și concavă pe intervalele ((2k − 1)π2, kπ], (k ∈ ℤ).
Restricția tg : (−π2, π2) → ℝ este bijectivă.

Este crescătoare pe ℝ.
Este impară, arctg(−x) = −arctg x.
Se anulează în punctul 0.
Este mărginită −π2 < arctg x < π2, ∀x ∈ ℝ.
Este convexă pe ℝ₋ și concavă pe ℝ₊.

10. Funcția cotangentă și funcția arccotangentă

ctg, cu asimptotele verticale x = kπ; îngroșat, restricția bijectivă pe (0, π)

arcctg : ℝ → (0, π), cu asimptotele orizontale y = 0 și y = π

Proprietățile funcției ctg	Proprietățile funcției arcctg : ℝ → (0, π)
Este periodică cu perioada principală π, astfel ctg(x + π) = ctg x, ∀x ∈ ℝ \ {kπ \| k ∈ ℤ}. Este funcție impară, ctg(−x) = −ctg x, ∀x ∈ ℝ \ {kπ \| k ∈ ℤ}. Este descrescătoare pe intervalele de forma (kπ, (k + 1)π), k ∈ ℤ. Este surjectivă. În punctele (2k + 1)π2 se anulează, deci ctg (2k + 1)π2 = 0, k ∈ ℤ. Este convexă pe intervalele (kπ, (2k + 1)π2] și concavă pe intervalele [(2k − 1)π2, kπ) (k ∈ ℤ). Restricția ctg : (0, π) → ℝ este bijectivă.	Este descrescătoare pe ℝ. Este mărginită 0 < arcctg x < π, ∀x ∈ ℝ. Este concavă pe ℝ₋ și convexă pe ℝ₊.

Proprietățile funcției ctg

Proprietățile funcției arcctg : ℝ → (0, π)

Este periodică cu perioada principală π, astfel ctg(x + π) = ctg x, ∀x ∈ ℝ \ {kπ | k ∈ ℤ}.
Este funcție impară, ctg(−x) = −ctg x, ∀x ∈ ℝ \ {kπ | k ∈ ℤ}.
Este descrescătoare pe intervalele de forma (kπ, (k + 1)π), k ∈ ℤ.
Este surjectivă.
În punctele (2k + 1)π2 se anulează, deci ctg (2k + 1)π2 = 0, k ∈ ℤ.
Este convexă pe intervalele (kπ, (2k + 1)π2] și concavă pe intervalele [(2k − 1)π2, kπ) (k ∈ ℤ).
Restricția ctg : (0, π) → ℝ este bijectivă.

Este descrescătoare pe ℝ.
Este mărginită 0 < arcctg x < π, ∀x ∈ ℝ.
Este concavă pe ℝ₋ și convexă pe ℝ₊.

11. Funcția constantă (funcția polinomială de grad 0)

Funcția polinomială de grad 0 este de fapt funcția constantă, cu graficul o dreaptă paralelă cu axa Ox.

f : ℝ → ℝ, f(x) = a

12. Funcția de gradul I

Funcția polinomială de grad 1 este de forma f : ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, a, b ∈ ℝ, a ≠ 0. Pentru a < 0 funcția este strict descrescătoare, este pozitivă pe intervalul (−∞, −ba) și negativă pe (−ba, +∞), iar pentru a > 0 este strict crescătoare, negativă pe intervalul (−∞, −ba) și pozitivă pe (−ba, +∞). x = −ba este rădăcina funcției în ambele cazuri. Graficul funcției este o dreaptă.

a < 0

a > 0

13. Funcția de gradul al doilea

Funcția polinomială de gradul doi este de forma f : ℝ → ℝ, f(x) = ax² + bx + c, a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0. Graficul funcției este o parabolă concavă pentru a < 0 și convexă pentru a > 0. Vârful parabolei este punctul V(−b2a, −Δ4a), care este punct de minim al funcției pentru a > 0, respectiv punct de maxim pentru a < 0. Dreapta x = −b2a este axă de simetrie a parabolei.

Δ < 0 (x_1,2 ∉ ℝ)

Δ = 0 (x₁ = x₂ ∈ ℝ)

Δ > 0 (x_1,2 ∈ ℝ, x₁ ≠ x₂)

a < 0

x	−∞	−b2a	+∞
f(x)	− − −	−	− − −
f	↗ ↗ ↗	−Δ4a	↘ ↘ ↘

x	−∞	x_1,2 = −b2a	+∞
f(x)	− − −	0	− − −
f	↗ ↗ ↗	0	↘ ↘ ↘

x	−∞ x₁	−b2a	x₂ +∞
f(x)	− − 0 +	+	+ 0 − −
f	↗ ↗ ↗	−Δ4a	↘ ↘ ↘

a > 0

x	−∞	−b2a	+∞
f(x)	+ + +	+	+ + +
f	↘ ↘ ↘	−Δ4a	↗ ↗ ↗

x	−∞	x_1,2 = −b2a	+∞
f(x)	+ + +	0	+ + +
f	↘ ↘ ↘	0	↗ ↗ ↗

x	−∞ x₁	−b2a	x₂ +∞
f(x)	+ + 0 −	−	− 0 + +
f	↘ ↘ ↘	−Δ4a	↗ ↗ ↗

14. Funcții polinomiale de grad mai mare și funcții raționale

Gradul 3: f(x) = x³ − 3x

Hiperbola: f(x) = 1/x

Funcția omografică: f(x) = (2x + 1)/(x − 1), cu asimptotele x = 1 și y = 2

Bibliografie

Mihai, I., Maftei, I. V., Pârșan, L., Mihai, A., & Nicolescu, C. P. (2006). Matematică M1: Manual pentru clasa a XI-a. Editura Didactică și Pedagogică.