Linia:
Text:
45:00
TEST DE EVALUARE — NIVEL 2 (MEDIU / STANDARD)
Disciplina: Matematică · Clasa: a X-a · Tema: Puteri și Radicali · Timp de lucru: 45 minute
Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. Punctaj total: 100 puncte.
Nume și prenume elev:
Clasa:
Data:
Nu mai încape în memoria calculatorului — de aici înainte scrisul nu se mai salvează.
Subiectul I (15 puncte)
a)(8p) Determinați domeniul maxim de existență $D \subset \mathbb{R}$ pentru funcția $f(x) = \sqrt{\dfrac{x+2}{5-x}} + \sqrt[3]{\dfrac{1}{x^2-4}}$.
b)(7p) Arătați că expresia $E(x) = \sqrt{x^2 - 6x + 10}$ este bine definită pentru orice $x \in \mathbb{R}$.
Subiectul II (15 puncte)
a)(8p) Simplificați expresia folosind formula radicalilor compuși (sau scrierea ca pătrat perfect): $A = \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} + \sqrt{7 + 4\sqrt{3}}$.
b)(7p) Calculați valoarea expresiei $B = \sqrt{\left(2\sqrt{5} - 5\right)^2} - \sqrt{20}$.
Subiectul III (15 puncte)
a)(8p) Raționalizați numitorul fracției: $F = \dfrac{12}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}}$.
b)(7p) Arătați că suma $S = \displaystyle\sum_{k=1}^{99} \dfrac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}} = 9$.
Subiectul IV (15 puncte)
a)(8p) Comparați numerele $a = \sqrt[3]{4}$ și $b = \sqrt[4]{5}$ prin aducerea radicalilor la același ordin.
b)(7p) Comparați puterile cu bază subunitară: $x = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\sqrt{3}}$ și $y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\sqrt{2}}$.
Subiectul V (15 puncte)
a)(8p) Simplificați expresia algebrică pentru $x, y > 0$: $E(x, y) = \dfrac{x^{3/2} - y^{3/2}}{x^{1/2} - y^{1/2}} - \sqrt{xy}$.
b)(7p) Arătați că numărul $N = \left(\sqrt[3]{2} + 1\right)\left(\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} + 1\right)$ este număr natural.
Subiectul VI (15 puncte)
a)(8p) Se consideră numărul $x = \sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}}$. Arătați că $x^3 + 3x - 4 = 0$ și deduceți că $x = 1$.
b)(7p) Calculați media geometrică a numerelor $a = 4 - \sqrt{7}$, $b = 4 + \sqrt{7}$ și $c = 3$.