a)(8p) Determinați domeniul maxim de existență $D \subset \mathbb{R}$ pentru expresia: $E(x) = \sqrt{\dfrac{|x - 2| - 3}{16 - x^2}} + \sqrt[4]{x^2 - 1}$.

b)(7p) Determinați $x \in \mathbb{R}$ pentru care radicalul de ordin impar $\sqrt[3]{\dfrac{x+1}{x^2 - 5x + 6}}$ este definit.

a)(8p) Simplificați expresia cu radicali compuși: $A = \sqrt{17 - 12\sqrt{2}} + \sqrt{17 + 12\sqrt{2}}$.

b)(7p) Arătați că $B = \sqrt[3]{26 + 15\sqrt{3}} + \sqrt[3]{26 - 15\sqrt{3}}$ este un număr întreg, identificând cuburile perfecte de sub radicali.

a)(8p) Raționalizați numitorul utilizând formula sumei/diferenței de cuburi: $F = \dfrac{5}{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}}$.

b)(7p) Arătați că numărul $S = \dfrac{1}{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} + 1}$ se poate scrie sub forma $a\sqrt[3]{2} + b$, cu $a, b \in \mathbb{Q}$.

a)(8p) Fără a extrage radicalii, comparați numerele reale: $a = \sqrt{15} - \sqrt{14}$   și   $b = \sqrt{14} - \sqrt{13}$.

b)(7p) Comparați exponenții iraționali și bazele subunitare: $x = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{\sqrt{5}}$   și   $y = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{\sqrt{3}}$.

a)(8p) Aduceți la forma cea mai simplă expresia algebrică ($a, b > 0$, $a \neq b$): $E(a, b) = \left(\dfrac{a^{1/2} + b^{1/2}}{a^{1/2} - b^{1/2}} - \dfrac{a^{1/2} - b^{1/2}}{a^{1/2} + b^{1/2}}\right) \cdot \dfrac{a - b}{4\sqrt{ab}}$.

b)(7p) Demonstrați că pentru orice $x > 0$, avem $\dfrac{x + 1/x}{2} \geq 1$ și deduceți că $\sqrt{x} + \dfrac{1}{\sqrt{x}} \geq 2$.

a)(8p) Notând $u = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}}$ și $v = \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}}$, calculați produsul $u \cdot v$ și suma $u^3 + v^3$. Arătați că $x$ satisface identitatea algebrică $x^3 - 6x - 40 = 0$.

b)(7p) Arătați că $20 + 14\sqrt{2} = \left(2 + \sqrt{2}\right)^3$ și $20 - 14\sqrt{2} = \left(2 - \sqrt{2}\right)^3$. Deduceți valoarea exactă a lui $x$ și verificați că $x \in \mathbb{N}$.