Topologia pe \(\mathbb{R}\) răspunde la întrebarea: cum sunt aranjate numerele reale unele față de altele? Nu ne interesează valoarea exactă a numerelor, ci relațiile de vecinătate — care numere sunt „aproape" de altele și ce înseamnă aceasta în mod precis.
Un interval deschis \((a, b)\) este mulțimea tuturor numerelor \(x\) cu \(a < x < b\). Acesta este blocul de bază al topologiei pe \(\mathbb{R}\).
Vecinătatea unui punct \(x_0 \in \mathbb{R}\) de rază \(\varepsilon > 0\) este intervalul deschis:
\( V(x_0,\, \varepsilon) = (x_0 - \varepsilon,\; x_0 + \varepsilon) \)
adică mulțimea tuturor numerelor reale aflate la distanță mai mică de \(\varepsilon\) față de \(x_0\).
Vecinătatea lui \(3\) cu \(\varepsilon = 0{,}5\) este intervalul \((2{,}5;\; 3{,}5)\). Aceasta conține, printre altele, numerele \(2{,}7\), \(\pi - 0{,}14\), \(\sqrt{9} = 3\), \(3{,}14\), dar nu conține \(2{,}5\) sau \(3{,}5\).
O mulțime \(D \subseteq \mathbb{R}\) este deschisă dacă pentru orice \(x \in D\) există o vecinătate a lui \(x\) complet inclusă în \(D\):
\( \forall x \in D,\quad \exists\, \varepsilon > 0 :\quad (x - \varepsilon,\; x + \varepsilon) \subseteq D \)
Intervalele deschise \((1, 5)\), \((0, +\infty)\), \((-\infty, 3)\); reuniuni de intervale deschise \((0,1)\cup(2,3)\); \(\mathbb{R}\) însuși; mulțimea vidă \(\emptyset\).
O mulțime \(F \subseteq \mathbb{R}\) este închisă dacă complementara sa \(\mathbb{R} \setminus F\) este deschisă. Echivalent: \(F\) conține toți punctele sale de acumulare (vezi §5).
Intervalele închise \([1, 5]\), \([0, +\infty)\); mulțimi finite \(\{1, 2, 3\}\); \(\mathbb{R}\) însuși; \(\emptyset\).
Majoritatea submulțimilor lui \(\mathbb{R}\) nu sunt nici deschise, nici închise. De exemplu, \([1, 5)\) nu este nici una, nici alta: marginea stângă \(1\) este în mulțime (nu e deschisă), iar marginea dreaptă \(5\) nu este (nu e închisă).
De altfel, \(\mathbb{R}\) și \(\emptyset\) sunt singurele submulțimi care sunt simultan deschise și închise.
\( \displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty} \!\left(-\tfrac{1}{n},\; \tfrac{1}{n}\right) = \{0\} \)
— mulțime închisă.Fie \(A \subseteq \mathbb{R}\) și un punct \(x \in \mathbb{R}\):
| Tip | Definiție | Intuiție |
|---|---|---|
| interior lui \(A\) | \(\exists\,\varepsilon > 0:\; (x-\varepsilon, x+\varepsilon) \subseteq A\) | \(x\) este „în mijlocul" lui \(A\) |
| exterior lui \(A\) | \(\exists\,\varepsilon > 0:\; (x-\varepsilon, x+\varepsilon) \cap A = \emptyset\) | \(x\) este departe de \(A\) |
| de frontieră | orice vecinătate conține și puncte din \(A\), și din \(\mathbb{R}\setminus A\) | \(x\) este „la marginea" lui \(A\) |
\(x_0\) este punct de acumulare al mulțimii \(A\) dacă în orice vecinătate a lui \(x_0\) există cel puțin un punct din \(A\) diferit de \(x_0\):
\( \forall\,\varepsilon > 0,\quad \exists\, a \in A,\; a \neq x_0 :\quad a \in (x_0 - \varepsilon,\; x_0 + \varepsilon) \)
Fie \(A = \left\{\dfrac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N}^*\right\} = \left\{1,\; \dfrac{1}{2},\; \dfrac{1}{3},\; \dfrac{1}{4},\; \ldots\right\}\).
Numărul \(0\) este punct de acumulare al lui \(A\), deși \(0 \notin A\): pentru orice \(\varepsilon > 0\), prin proprietatea lui Arhimede există \(n \in \mathbb{N}^*\) cu \(\dfrac{1}{n} < \varepsilon\), deci \(\dfrac{1}{n} \in (0-\varepsilon,\; 0+\varepsilon) \cap A\).
O mulțime \(F \subseteq \mathbb{R}\) este închisă \(\Longleftrightarrow\) conține toți punctele sale de acumulare.
Între oricare două numere reale există un număr rațional:
\( \forall\, a, b \in \mathbb{R},\; a < b \;\Rightarrow\; \exists\, q \in \mathbb{Q} :\; a < q < b \)
Între oricare două numere reale există și un număr irațional:
\( \forall\, a, b \in \mathbb{R},\; a < b \;\Rightarrow\; \exists\, r \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} :\; a < r < b \)
Pe dreapta numerelor reale nu există „zone goale" formate doar din raționale sau doar din iraționale — ele sunt complet amestecate. Aceasta este una dintre proprietățile esențiale ale lui \(\mathbb{R}\): structura sa topologică este extrem de fină.
\(\mathbb{Q}\) nu este complet: există șiruri de raționale care „ar trebui" să conveargă, dar limita lor nu este rațională. De exemplu, șirul \(3;\; 3{,}1;\; 3{,}14;\; 3{,}141;\; 3{,}1415;\ldots\) converge la \(\pi \notin \mathbb{Q}\).
Un șir \((a_n)_{n \geq 1}\) se numește șir Cauchy dacă termenii săi devin arbitrar de apropiați:
\( \forall\,\varepsilon > 0,\quad \exists\, N \in \mathbb{N} :\quad \forall\, m, n > N,\quad |a_m - a_n| < \varepsilon \)
\(\mathbb{R}\) este complet: orice șir Cauchy de numere reale converge la un număr real. Altfel spus, \(\mathbb{R}\) nu are „găuri".
\(\mathbb{R}\) este „completarea" lui \(\mathbb{Q}\) — am adăugat exact toate numerele lipsă (iraționalele) pentru ca dreapta numerelor să nu aibă nicio „gaură". Orice șir convergent converg în \(\mathbb{R}\), nu „cade printre crăpături".
O mulțime \(K \subseteq \mathbb{R}\) este compactă dacă din orice acoperire deschisă a lui \(K\) se poate extrage o subacoperire finită.
O mulțime \(K \subseteq \mathbb{R}\) este compactă \(\Longleftrightarrow\) \(K\) este închisă și mărginită.
Compactitatea garantează că orice șir de elemente din \(K\) are un subșir convergent cu limita în \(K\) (Teorema Bolzano–Weierstrass). Aceasta stă la baza demonstrațiilor din analiza matematică.