Profesor de Matematică - Elena Micu
Se consideră funcția \(f:(1;+\infty)\to\mathbb{R}\), \(\; f(x)=\dfrac{e^{x-2}}{\sqrt{x-1}}\).
\(f\) este derivabilă pe \((1;+\infty)\)
\(f'(x) = \left(\dfrac{e^{x-2}}{\sqrt{x-1}}\right)' = \dfrac{(e^{x-2})'\cdot\sqrt{x-1}\;-\;e^{x-2}\cdot(\sqrt{x-1})'}{\bigl(\sqrt{x-1}\bigr)^2} =\)
\(= \dfrac{e^{x-2}\cdot\sqrt{x-1}\;-\;e^{x-2}\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}}{x-1} =\)
\(= \dfrac{e^{x-2}}{x-1}\cdot\left(\sqrt{x-1} - \dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}\right) =\)
\(= \dfrac{e^{x-2}}{x-1}\cdot\dfrac{2(x-1)-1}{2\sqrt{x-1}} = \dfrac{e^{x-2}\cdot(2x-3)}{2(x-1)\sqrt{x-1}}\)
La \(x=2\): \(f(2)=\dfrac{e^{0}}{\sqrt{1}}=1\) și exponentul \(\dfrac{1}{x-2}\to\pm\infty\) — formă de nedeterminare \(1^{\infty}\).
Separăm baza \(f(x)=\dfrac{e^{x-2}}{\sqrt{x-1}}\) la puterea \(\dfrac{1}{x-2}\):
\(\bigl(f(x)\bigr)^{\!\frac{1}{x-2}} = \left(\dfrac{e^{x-2}}{\sqrt{x-1}}\right)^{\!\frac{1}{x-2}} = \dfrac{\bigl(e^{x-2}\bigr)^{\!\frac{1}{x-2}}}{\bigl(x-1\bigr)^{\!\frac{1}{2(x-2)}}} = \dfrac{e}{\bigl(x-1\bigr)^{\!\frac{1}{2(x-2)}}}\)
Calculăm \(\displaystyle\lim_{x\to 2}\bigl(x-1\bigr)^{\!\frac{1}{2(x-2)}}\). Facem substituția \(t = x-2\), \(t\to 0\): când \(t\to 0\), \((1+t)^{\frac{1}{2t}}\to 1^{\infty}\) (formă de nedeterminare).
Folosim limita remarcabilă \(\displaystyle\lim_{t\to 0}(1+t)^{\frac{1}{t}}=e\):
\(\displaystyle\lim_{t\to 0}\,(1+t)^{\frac{1}{2t}} = \left(\lim_{t\to 0}(1+t)^{\frac{1}{t}}\right)^{\!\frac{1}{2}} = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}\)
Prin urmare:
\(\displaystyle\lim_{x\to 2}\bigl(f(x)\bigr)^{\!\frac{1}{x-2}} = \frac{e}{\sqrt{e}} = e^{1-\frac{1}{2}} = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}\)
Ecuația \(f(x)=mx\), \(x\in(1;+\infty)\), este \(\dfrac{e^{x-2}}{\sqrt{x-1}}=mx\).
Deoarece \(x>1>0\), împărțim ambii membri prin \(x\) și obținem ecuația echivalentă:
Introducem funcția auxiliară \(\varphi:(1;+\infty)\to\mathbb{R}\), \(\;\displaystyle\varphi(x)=\frac{f(x)}{x}=\frac{e^{x-2}}{x\sqrt{x-1}}\).
\(f(x)=mx \;\Leftrightarrow\; \varphi(x)=m\).
Facem tabelul de variație al funcției \(\varphi\).
Rezolvăm ecuația \(\varphi'(x)=0\). Calculăm derivata prin regula câtului, cu \(p=e^{x-2}\) și \(q=x\sqrt{x-1}\):
\(q' = \bigl(x\sqrt{x-1}\bigr)' = \sqrt{x-1} + x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}} = \dfrac{2(x-1)+x}{2\sqrt{x-1}} = \dfrac{3x-2}{2\sqrt{x-1}}\)
\(\varphi'(x) = \dfrac{p'q-pq'}{q^2} = \dfrac{e^{x-2}\cdot x\sqrt{x-1}\;-\;e^{x-2}\cdot\dfrac{3x-2}{2\sqrt{x-1}}}{x^2(x-1)} =\)
\(= \dfrac{e^{x-2}}{x^2(x-1)}\cdot\dfrac{2x(x-1)-(3x-2)}{2\sqrt{x-1}} = \dfrac{e^{x-2}\cdot(2x^2-5x+2)}{2x^2(x-1)^{3/2}} = \dfrac{e^{x-2}(2x-1)(x-2)}{2x^2(x-1)^{3/2}}\)
\(\varphi'(x)=0 \;\Rightarrow\; (2x-1)(x-2)=0, \; x>1 \;\Rightarrow\; x=2\) \(\bigl(x=\tfrac{1}{2}\notin(1;+\infty)\bigr)\).
Aflăm semnul lui \(\varphi'(x)=\dfrac{e^{x-2}(2x-1)(x-2)}{2x^2(x-1)^{3/2}}\), \(\; x\in(1;+\infty)\).
Cum \(e^{x-2}>0\), \(x^2>0\), \((x-1)^{3/2}>0\) pentru \(x>1\), semnul lui \(\varphi'\) este dat de semnul lui \((2x-1)(x-2)\) pe \((1;+\infty)\).
Pentru \(x>1\): \(2x-1>2\cdot 1-1=1>0\), deci \(2x-1>0\). Prin urmare, semnul lui \(\varphi'\) este dat de semnul lui \((x-2)\):
| \(x\) | \(1\) | \(2\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(2x-1\) | + | + | + | ||
| \(x-2\) | − | 0 | + | ||
| \(\varphi'(x)\) | − | 0 | + |
Calculăm limitele și valoarea în punctul critic:
\(\displaystyle\varphi(2) = \frac{e^{0}}{2\cdot\sqrt{1}} = \frac{1}{2}\)
\(\displaystyle\lim_{\substack{x\to 1 \\ x>1}}\varphi(x) = \lim_{\substack{x\to 1 \\ x>1}}\frac{e^{x-2}}{x\sqrt{x-1}} = \frac{e^{-1}}{1\cdot 0^+} = +\infty\)
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\varphi(x) = +\infty \quad\bigl(e^{x-2}\text{ crește mai rapid decât }x\sqrt{x-1}\bigr)\)
Acum facem tabelul de variație al funcției \(\varphi\):
| \(x\) | \(1\) | \(2\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(\varphi'(x)\) | − | 0 | + | ||
| \(\varphi(x)\) | \(+\infty\) | ↘ | \(\dfrac{1}{2}\) min |
↗ | \(+\infty\) |
Pentru orice \(x\in(1;2)\), \(\varphi'(x)<0\), deci \(\varphi\) este strict descrescătoare pe \((1;2)\), și, pentru orice \(x\in(2;+\infty)\), \(\varphi'(x)>0\), deci \(\varphi\) este strict crescătoare pe \([2;+\infty)\).
Interpretarea tabelului de variație:
Analizăm ecuația \(\varphi(x)=m\) pe intervalele de monotonie: \[I_1=(1;2), \quad I_2=[2;+\infty)\]
\(\varphi\) este strict descrescătoare pe \(I_1=(1;2)\): \(\;\varphi(x)\to+\infty\) când \(x\to 1^+\) și \(\varphi(x)\to\tfrac{1}{2}\) când \(x\to 2^-\;\Rightarrow\; \varphi(I_1)=\bigl(\tfrac{1}{2};+\infty\bigr)\)
\(\varphi\) este strict crescătoare pe \(I_2=[2;+\infty)\): \(\;\varphi(2)=\tfrac{1}{2}\) și \(\varphi(x)\to+\infty\;\Rightarrow\; \varphi(I_2)=\bigl[\tfrac{1}{2};+\infty\bigr)\)
Concluzie:
— Dacă \(m<\dfrac{1}{2}\): \(\varphi(x)\geq\dfrac{1}{2}>m\) pentru orice \(x\in(1;+\infty) \;\Rightarrow\; 0\) soluții.
— Dacă \(m=\dfrac{1}{2}\): minimul global al lui \(\varphi\) este \(\varphi(2)=\dfrac{1}{2}\), atins unic în \(x=2 \;\Rightarrow\; 1\) soluție.
— Dacă \(m>\dfrac{1}{2}\):
\(\bullet\) Pe \((1;2)\): \(\varphi\) continuă și strict descrescătoare, cu \(\displaystyle\lim_{x\to 1^+}\varphi(x)=+\infty>m\) și \(\displaystyle\lim_{x\to 2^-}\varphi(x)=\dfrac{1}{2}<m\). Prin Darboux \(\Rightarrow\exists\,x_1\in(1;2)\) cu \(\varphi(x_1)=m\). \(\varphi\) strict descrescătoare \(\Rightarrow\) injectivă \(\Rightarrow\exists!\,x_1\).
\(\bullet\) Pe \([2;+\infty)\): \(\varphi\) continuă și strict crescătoare, cu \(\varphi(2)=\dfrac{1}{2}<m\) și \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\varphi(x)=+\infty>m\). Prin Darboux \(\Rightarrow\exists\,x_2\in(2;+\infty)\) cu \(\varphi(x_2)=m\). \(\varphi\) strict crescătoare \(\Rightarrow\) injectivă \(\Rightarrow\exists!\,x_2\).
\(\bullet\; x_1\in(1;2),\; x_2\in(2;+\infty) \;\Rightarrow\; x_1\neq x_2 \;\Rightarrow\; 2\) soluții distincte.
Derivezi fiecare termen separat, aplici corect regula câtului și faci calculele finale.
Scrii \(\bigl(f(x)\bigr)^{1/(x-2)}= e\,/\,(x-1)^{1/(2(x-2))}\), faci substituția \(t=x-2\) și folosești limita fundamentală.
Ecuația \(f(x)=mx\) devine \(\varphi(x)=m\). Studiezi monotonia lui \(\varphi\), aplici Darboux (existență) și injectivitatea (unicitate pe fiecare interval), numeri soluțiile.