Profesor de Matematică - Elena Micu
Se consideră funcția \( f:(0,+\infty)\to\mathbb{R} \), \(\; f(x) = x + \ln^2 x - x\ln x \).
\(f\) este derivabilă pe \((0;+\infty)\)
\(f'(x) = (x + \ln^2 x - x\ln x)' = x' + (\ln^2 x)' - (x\ln x)' =\)
\(= 1 + 2\cdot\ln x\cdot(\ln x)' - \bigl[x'\cdot\ln x + x\cdot(\ln x)'\bigr] =\)
\(= 1 + 2\ln x\cdot\dfrac{1}{x} - \!\left(\ln x + x\cdot\dfrac{1}{x}\right) = 1 + \dfrac{2\ln x}{x} - \ln x - 1 =\)
\(= \dfrac{2\ln x}{x} - \ln x = \ln x\!\left(\dfrac{2}{x} - 1\right) = \dfrac{2-x}{x}\cdot\ln x = \dfrac{(2-x)\ln x}{x}\)
Fie \(M_0 \in G_f\) pentru care tangenta la \(G_f\) este paralelă cu \(Ox\).
\(M_0 \in G_f \Rightarrow M_0\bigl(x_0;\, f(x_0)\bigr)\)
Tangenta în \(M_0\) la graficul funcției are ecuația: \[y - y_0 = m(x - x_0), \quad\text{unde}\quad \begin{cases} y_0 = f(x_0),\; x_0 > 0 \\ m = f'(x_0) \end{cases}\]
Cum tangenta este \(\parallel Ox \Rightarrow\) panta tangentei este egală cu panta axei \(Ox\).
Panta axei \(Ox\) este \(\operatorname{tg}\, 0° = 0\;\bigl(\angle(Ox,Ox) = 0°\bigr)\)
Panta tangentei este \(m = f'(x_0)\).
Din condiția de paralelism avem că \(f'(x_0) = 0 \Rightarrow\)
\(\Rightarrow \dfrac{(2-x_0)\ln x_0}{x_0} = 0,\; x_0 > 0 \;\Rightarrow\; (2-x_0)\ln x_0 = 0 \;\Rightarrow\; 2-x_0=0\)
sau \(\ln x_0 = 0 \;\Rightarrow\; x_0 = 2\) sau \(x_0 = e^0 = 1\)
\(1,\,2 > 0 \;\Rightarrow\; x_0 \in \{1;\,2\}\).
Facem tabelul de variație al funcției.
Rezolvăm ec. \(f'(x)=0 \Rightarrow \dfrac{(2-x)\ln x}{x}=0 \Rightarrow (2-x)\ln x=0,\; x>0 \Rightarrow\)
\(\Rightarrow\; 2-x=0\) sau \(\ln x=0,\; x>0 \;\Rightarrow\; x=2\) sau \(x=1\) cu \(x>0 \;\Rightarrow\; x\in\{1;\,2\}\).
Aflăm semnul derivatei \(f'(x)=\dfrac{(2-x)\ln x}{x},\; x>0\).
Cum \(x>0 \Rightarrow\) semnul lui \(f'\) este dat de semnul produsului \((2-x)\ln x\) pe \((0;\infty)\).
\((x>1 \Rightarrow \ln x > \ln 1 \Rightarrow \ln x > 0)\)
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(2-x\) | + | + | + | 0 | − | ||
| \(\ln x\) | − | 0 | + | + | + | ||
| \((2-x)\ln x\) | − | 0 | + | 0 | − |
Calculăm și limitele la capetele domeniului:
\(\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0 \\ x>0}} x\ln x = \lim_{\substack{x\to 0 \\ x>0}}\frac{\ln x}{\tfrac{1}{x}}\;\Bigl[\tfrac{\infty}{\infty}\Bigr]\;\overset{L'H}{=}\;\lim_{\substack{x\to 0 \\ x>0}}\frac{\tfrac{1}{x}}{-\tfrac{1}{x^2}} = \lim_{\substack{x\to 0 \\ x>0}}(-x)=0\)
\(\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0 \\ x>0}}\ln^2 x = (-\infty)^2 = +\infty\)
\(\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0 \\ x>0}} f(x) = 0 + \infty - 0 = +\infty\)
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln^2 x}{x}\;\Bigl[\tfrac{\infty}{\infty}\Bigr]\;\overset{L'H}{=}\;\lim_{x\to+\infty}\frac{2\ln x\cdot\tfrac{1}{x}}{1}=\lim_{x\to+\infty}\frac{2\ln x}{x}\;\Bigl[\tfrac{\infty}{\infty}\Bigr]\;\overset{L'H}{=}\;\lim_{x\to+\infty}\frac{\tfrac{2}{x}}{1}=0\)
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x) = \lim_{x\to+\infty}x\!\left(1+\frac{\ln^2 x}{x}-\ln x\right)=\lim_{x\to+\infty}x\!\left(\ln\frac{e}{x}+\frac{\ln^2 x}{x}\right)=+\infty\cdot(-\infty)=-\infty\)
Acum facem tabelul de variație al funcției \(f\):
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | − | 0 | + | 0 | − | ||
| \(f(x)\) | \(+\infty\) | ↘ | \(1\) m |
↗ | \(f(2)\) M |
↘ | \(-\infty\) |
\(f(1) = 1 + \ln^2 1 - 1\cdot\ln 1 = 1 \quad(\ln 1=0)\)
\(f(2) = 2 + \ln^2 2 - 2\ln 2\)
Pentru orice \(x\in(0;1)\), \(f'(x)\leq 0\), deci \(f\) este descrescătoare pe \((0;1)\), pentru orice \(x\in[1;2)\), \(f'(x)\geq 0\), deci \(f\) este crescătoare pe \([1;2)\) și, pentru orice \(x\in[2;+\infty)\), \(f'(x)<0\), deci \(f\) este strict descrescătoare pe \([2;+\infty)\).
Interpretarea tabelului de variație:
Analizăm ecuația \(f(x)=0\) pe intervalele: \[I_1=(0;1),\quad I_2=[1;2),\quad I_3=[2;+\infty)\] \(\bigl(I_1\cup I_2\cup I_3=(0;\infty)\) — intervalele de monotonie ale lui \(f\bigr)\).
\(f\) continuă pe \((0;\infty)\) și \((0;\infty)=I_1\cup I_2\cup I_3 \;\Rightarrow\; f\) continuă pe \(I_1, I_2, I_3 \;\Rightarrow\; f\) are proprietatea lui Darboux pe aceste intervale \(\;\Rightarrow\; f(I_1),\,f(I_2),\,f(I_3)\) sunt intervale.
\(f\) este strict descrescătoare pe \((0;1)=I_1 \;\overset{\text{tabel}}{\Longrightarrow}\; f(I_1)=(1;+\infty)\)
\(f\) este strict crescătoare pe \([1;2)=I_2 \;\overset{\text{tabel}}{\Longrightarrow}\; f(I_2)=\bigl[1;\;2+\ln^2 2-2\ln 2\bigr)\)
\(f\) este strict descrescătoare pe \([2;+\infty)=I_3 \;\overset{\text{tabel}}{\Longrightarrow}\; f(I_3)=\bigl(-\infty;\;2+\ln^2 2-2\ln 2\bigr]\)
Pe \((0;1)\), \(f\) ia toate valorile din \((1;+\infty)\) și \(0\notin(1;+\infty)\;\Rightarrow\) ecuația \(f(x)=0\) nu are nicio soluție în \((0;1)\).
Pe \([1;2)\), \(f\) ia toate valorile din \([1;\;2+\ln^2 2-2\ln 2)\) și \(0\notin[1;\;2+\ln^2 2-2\ln 2)\;\Rightarrow\) ecuația \(f(x)=0\) nu are nicio soluție în \([1;2)\).
Pe \([2;+\infty)\), \(f\) ia toate valorile din \(\bigl(-\infty;\;2+\ln^2 2-2\ln 2\bigr]\) și \(0\in\bigl(-\infty;\,f(2)\bigr] \;\Rightarrow\) ecuația are cel puțin o soluție în \([2;+\infty)\).
Unicitatea soluției: \(f\) strict descrescătoare pe \([2;+\infty) \;\Rightarrow\; f\) injectivă pe \([2;+\infty) \;\Rightarrow\) soluția ec. \(f(x)=0\) pe \([2;+\infty)\) este unică.
Derivezi fiecare termen separat, aplici corect regulile de derivare și faci calculele finale.
Paralelismul cu \(Ox\) înseamnă \(m = \operatorname{tg} 0° = 0\), deci \(f'(x_0)=0\).
Pe fiecare interval, \(f(I_k)\) este un interval. Verifici dacă \(0\) aparține sau nu fiecăruia.
Funcție strict monotonă pe \([2;+\infty) \Rightarrow\) injectivă \(\Rightarrow\) soluția este unică.