Profesor de Matematică - Elena Micu
Se consideră expresia \[ E(x) = \left(\frac{2}{x-2} + \frac{x}{x+2}\right) : \frac{x^2+4}{x^2+4x+4}, \] unde \(x\) este număr real, \(x \neq -2\) și \(x \neq 2\).
\(x \in \mathbb{R}\), \(x \neq -2\), \(x \neq 2\).
Formulă: \(x^2+4x+4 = (x+2)^2\) (pătrat perfect).
Amplificăm \(\dfrac{2}{x-2}\) cu \((x+2)\) și \(\dfrac{x}{x+2}\) cu \((x-2)\):
\[ \frac{2}{x-2} + \frac{x}{x+2} = \frac{2(x+2)}{(x-2)(x+2)} + \frac{x(x-2)}{(x-2)(x+2)} \]
\[ = \frac{2x+4+x^2-2x}{(x-2)(x+2)} = \frac{x^2+4}{(x-2)(x+2)} \]
(termenii \(2x\) și \(-2x\) se reduc)
\[ E(x) = \frac{x^2+4}{(x-2)(x+2)} : \frac{x^2+4}{(x+2)^2} = \frac{x^2+4}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{(x+2)^2}{x^2+4} \]
Simplificăm \((x^2+4)\) și un factor \((x+2)\):
\[ E(x) = \frac{x+2}{x-2} \]
\[ N = \frac{n+2}{n-2} - 1 = \frac{n+2-(n-2)}{n-2} = \frac{n+2-n+2}{n-2} = \frac{4}{n-2} \]
Trebuie \((n-2) > 0\) (deoarece \(n \in \mathbb{N}\), \(n \neq 2\) și \(N \geq 0\)) și \((n-2) \mid 4\).
Divizorii pozitivi ai lui 4: \(\{1, 2, 4\}\).
Cazul 1: \(n-2=1 \Rightarrow n=3\). \(N = 4/1 = 4 \in \mathbb{N}\). ✓
Cazul 2: \(n-2=2 \Rightarrow n=4\). \(N = 4/2 = 2 \in \mathbb{N}\). ✓
Cazul 3: \(n-2=4 \Rightarrow n=6\). \(N = 4/4 = 1 \in \mathbb{N}\). ✓
La prima vedere numărătorul \(2(x+2)+x(x-2) = 2x+4+x^2-2x\) pare complicat, dar \(2x\) și \(-2x\) se anulează și obții curat \(x^2+4\).
Fără această descompunere, împărțirea fracțiilor nu se poate simplifica. Rezultatul \(E(x) = \dfrac{x+2}{x-2}\) permite calculul lui \(N\).
\(\dfrac{n+2}{n-2} - 1 = \dfrac{4}{n-2}\). Condiția de natural devine: \((n-2) \mid 4\) și \(n-2 > 0\).
Deoarece \(n \in \mathbb{N}\) și \(n \neq 2\), avem \(n \geq 0\). Dacă \(n = 0\) sau \(n = 1\), atunci \(n-2 < 0\) și \(N < 0\), deci nu natural. Rămân doar \(n \geq 3\), \(n \neq 2\).