Problema 10 — Subiectul III.2

✏️ Rezolvare

Condiții de existență și observații

\(x \in \mathbb{R}\), \(x \neq 1\), \(x \neq 2\).

Observație: \(x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)\) [din a)] și \(x^2-4 = (x-2)(x+2)\).

a) Demonstrarea identității (2p)

Calculăm produsul din membrul drept

\[ (x-1)(x-2) = x^2-2x-x+2 = x^2-3x+2 \]

Egalitatea \(x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)\) este demonstrată pentru orice \(x \in \mathbb{R}\). ✅

b) Determinăm \(n \in \mathbb{Z}\), \(n \neq 1, 2\), cu \(N = \dfrac{5}{E(n)} \in \mathbb{N}\) (3p)

Aducem suma din paranteză la numitor comun \((x-1)(x-2)\)

Amplificăm \(\dfrac{1}{x-1}\) cu \((x-2)\):

\[ \frac{1}{(x-1)(x-2)} + \frac{x-2}{(x-1)(x-2)} = \frac{1+(x-2)}{(x-1)(x-2)} = \frac{x-1}{(x-1)(x-2)} \]

Deoarece \(x \neq 1\), simplificăm prin \((x-1)\):

\[ = \frac{1}{x-2} \]

Calculăm \(E(x)\) înmulțind cu \((x^2-4)\)

Recunoaștem \(x^2-4 = (x-2)(x+2)\):

\[ E(x) = \frac{1}{x-2} \cdot (x-2)(x+2) \]

Deoarece \(x \neq 2\), simplificăm prin \((x-2)\):

\[ E(x) = x+2 \]

Scriem condiția \(N = \dfrac{5}{E(n)} \in \mathbb{N}\) pentru \(n \in \mathbb{Z}\)

\[ N = \frac{5}{n+2} \in \mathbb{N} \]

Condiții: \(n+2 > 0\) (pentru ca fracția să fie pozitivă) și \((n+2) \mid 5\).

Divizorii pozitivi ai lui 5: \(\{1, 5\}\). Deci \((n+2) \in \{1, 5\}\).

Analizăm cazurile și verificăm condițiile

Cazul 1: \(n+2=1 \Rightarrow n=-1\). Deoarece \(-1 \in \mathbb{Z}\), \(-1 \neq 1\) și \(-1 \neq 2\) → valid.

Verificare: \(N = \dfrac{5}{-1+2} = \dfrac{5}{1} = 5 \in \mathbb{N}\). ✓

Cazul 2: \(n+2=5 \Rightarrow n=3\). Deoarece \(3 \in \mathbb{Z}\), \(3 \neq 1\) și \(3 \neq 2\) → valid.

Verificare: \(N = \dfrac{5}{3+2} = \dfrac{5}{5} = 1 \in \mathbb{N}\). ✓

Numerele întregi căutate sunt \(n \in \{-1,\; 3\}\). ✅

💡 Strategii pentru expresii algebrice și condiții de divizibilitate

💡

Suma din paranteză se simplifică spectaculos: \(\dfrac{1+(x-2)}{(x-1)(x-2)} = \dfrac{1}{x-2}\)

Numărătorul \(1+(x-2) = x-1\) se simplifică cu \((x-1)\) din numitor. Este o simplificare neobvioasă — verifică că \(x \neq 1\).

💡

Recunoaște \(x^2-4 = (x-2)(x+2)\) pentru a simplifica cu \((x-2)\)

Rezultat: \(E(x) = x+2\). O expresie cu fracții complicate se reduce la un polinom simplu.

💡

\(n \in \mathbb{Z}\) (întregi!) — nu uita că \(n\) poate fi negativ

Spre deosebire de problemele cu \(n \in \mathbb{N}\), aici \(n=-1\) este o soluție validă. Dacă cerința ar fi \(n \in \mathbb{N}\), \(n=-1\) ar fi eliminat.

⚠️

De ce \(n+2 > 0\)? — \(N \in \mathbb{N}\) implică \(N \geq 0\)

Dacă \(n+2 < 0\), atunci \(\dfrac{5}{n+2} < 0\), care nu poate fi număr natural. Deci eliminăm \(n+2 \in \{-5,-1\}\) deși sunt tot divizori întregi ai lui 5.

MateExamene