Problema 9 — Subiectul III.2

✏️ Rezolvare

Formule de calcul prescurtat folosite

\((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\) → \((2x+3)^2 = 4x^2+12x+9\)

\((a-b)(a+b) = a^2-b^2\) → \((x-2)(x+2) = x^2-4\)

a) Arată că \(E(0) = 4\) (2p)

Înlocuim \(x = 0\) și calculăm fiecare termen

\(E(0) = (2\cdot 0+3)^2 + (0-2)(0+2) - 3(1-0) + 2\)

\(= 3^2 + (-2)(2) - 3 \cdot 1 + 2\)

\(= 9 - 4 - 3 + 2 = 4\)

\(E(0) = 4\) ✅

b) Demonstrăm că \(10 \mid N\) pentru orice \(n \in \mathbb{N}\) (3p)

Desfacem parantezele și simplificăm \(E(x)\)

\[ E(x) = (4x^2+12x+9) + (x^2-4) + (-3+3x) + 2 \]

\[ = (4x^2+x^2) + (12x+3x) + (9-4-3+2) = 5x^2+15x+4 \]

Calculăm \(N = E(n) + 6\)

\[ N = (5n^2+15n+4) + 6 = 5n^2+15n+10 \]

Factorizăm \(N\)

Scoatem factor comun \(5\):

\[ N = 5(n^2+3n+2) \]

Factorizăm \(n^2+3n+2\) (rădăcinile ecuației \(n^2+3n+2=0\) sunt \(-1\) și \(-2\)):

\[ n^2+3n+2 = (n+1)(n+2) \]

Deci:

\[ N = 5 \cdot (n+1)(n+2) \]

Demonstrăm că \(N\) este divizibil cu \(10 = 2 \cdot 5\)

Divizibil cu 5: \(N\) conține factorul \(5\) explicit. ✓

Divizibil cu 2: \((n+1)\) și \((n+2)\) sunt două numere naturale consecutive. Dintre orice două numere consecutive, unul este par. Deci produsul \((n+1)(n+2)\) este par, adică \(2 \mid (n+1)(n+2)\). ✓

Deoarece \(\text{cmmdc}(2,5)=1\) și \(2 \mid N\) și \(5 \mid N\), rezultă că \(10 \mid N\).

\(N = 5(n+1)(n+2)\) este divizibil cu \(10\) pentru orice \(n \in \mathbb{N}\). ✅

💡 Strategii pentru expresii polinomiale și divizibilitate

💡

La a): calculează fiecare termen separat, apoi adună

\(3^2=9\), \((-2)(2)=-4\), \(-3(1)=-3\). Suma: \(9-4-3+2=4\). Organizarea pe termeni evită erorile.

💡

La b): simplifică mai întâi \(E(x)\), apoi calculează \(N\)

Este mai ușor să obții \(E(x) = 5x^2+15x+4\) general și abia apoi să adaugi 6, decât să lucrezi cu expresia nesimplificată.

💡

Factorizarea \(n^2+3n+2=(n+1)(n+2)\): caută două numere cu produs 2 și sumă 3

Produsul \(1 \cdot 2 = 2\) și suma \(1+2=3\). Deci \(n^2+3n+2 = (n+1)(n+2)\).

💡

Produsul a două numere consecutive este întotdeauna par

Dintre \(n+1\) și \(n+2\), unul este par. Deci \(2 \mid (n+1)(n+2)\). Combinat cu factorul \(5\), obținem \(10 \mid N\).

MateExamene