Profesor de Matematică - Elena Micu
Se consideră expresia \[ E(x) = \left(\frac{x}{9+3x} - \frac{2}{x+3} + \frac{3}{x^2+3x}\right) : \left(\frac{x}{3} + \frac{3}{x} - 2\right), \] unde \(x\) este un număr real, \(x \neq -3\), \(x \neq 0\) și \(x \neq 3\).
\(x \in \mathbb{R}\), \(x \neq -3\), \(x \neq 0\), \(x \neq 3\).
Observație: \(9+3x = 3(x+3)\) și \(x^2+3x = x(x+3)\) — forma celor trei numitori.
Observație: \(x^2-6x+9 = (x-3)^2\) — pătrat perfect care apare în calcule.
\(9+3x = 3(x+3)\), \quad \(x+3\), \quad \(x^2+3x = x(x+3)\)
Numitor comun: \(3x(x+3)\). Amplificăm corespunzător:
\[ \frac{x \cdot x}{3x(x+3)} - \frac{2 \cdot 3x}{3x(x+3)} + \frac{3 \cdot 3}{3x(x+3)} \]
\[ \frac{x^2 - 6x + 9}{3x(x+3)} = \frac{(x-3)^2}{3x(x+3)} \]
Aducem la numitor comun \(3x\):
\[ \frac{x}{3} + \frac{3}{x} - 2 = \frac{x^2 + 9 - 6x}{3x} = \frac{(x-3)^2}{3x} \]
\[ E(x) = \frac{(x-3)^2}{3x(x+3)} : \frac{(x-3)^2}{3x} = \frac{(x-3)^2}{3x(x+3)} \cdot \frac{3x}{(x-3)^2} = \frac{1}{x+3} \]
\[ 5 \cdot E(n) = \frac{5}{n+3} \in \mathbb{N} \]
Condiție: \((n+3)\) trebuie să fie un divizor natural al lui \(5\).
Divizorii naturali ai lui \(5\): \(\mathcal{D}_5 = \{1, 5\}\).
Deci \((n+3) \in \{1, 5\}\).
Cazul 1: \(n+3 = 1 \Rightarrow n = -2\). Deoarece \(n \in \mathbb{N}\), această soluție nu este validă.
Cazul 2: \(n+3 = 5 \Rightarrow n = 2\). Deoarece \(2 \in \mathbb{N}\) și \(2 \neq -3, 0, 3\), această soluție este validă.
Verificare: \(5 \cdot E(2) = \dfrac{5}{2+3} = \dfrac{5}{5} = 1 \in \mathbb{N}\). ✅
Prima paranteză devine \(\dfrac{(x-3)^2}{3x(x+3)}\), a doua \(\dfrac{(x-3)^2}{3x}\). Ambele conțin \((x-3)^2\) și \(3x\) — se simplifică complet.
La calcul: \(x^2 - 2 \cdot 3x + 9\) — formula \((a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\) cu \(a=x\), \(b=3\).
O fracție cu numărătorul \(5\) este număr natural dacă și numai dacă numitorul divide \(5\). Divizorii naturali ai lui \(5\) sunt \(1\) și \(5\).
\(n = 2\) îndeplinește: \(2 \neq -3\), \(2 \neq 0\), \(2 \neq 3\) — toate condițiile de existență sunt respectate. Verifică și că \(E(x)\) nu are forma \(\dfrac{0}{0}\) (nu e cazul pentru \(x = 2 \neq 3\)).