Profesor de Matematică - Elena Micu
Se consideră expresia \[ E(x) = \left(\frac{x+3}{x-1} + \frac{4x}{x^2+2x-3}\right) : \frac{x+9}{x-1}, \] unde \(x \in \mathbb{R} \setminus \{-9, -3, 1\}\).
\(x \in \mathbb{R} \setminus \{-9, -3, 1\}\).
Observație: \(x^2+2x-3 = (x-1)(x+3)\) [din a)] — cheia simplificării.
Observație: \(x^2+10x+9 = (x+1)(x+9)\) — factorizare necesară în b).
\[ (x-1)(x+3) = x^2+3x-x-3 = x^2+2x-3 \]
Amplificăm \(\dfrac{x+3}{x-1}\) cu \((x+3)\):
\[ \frac{(x+3)^2}{(x-1)(x+3)} + \frac{4x}{(x-1)(x+3)} = \frac{(x+3)^2 + 4x}{(x-1)(x+3)} \]
\[ = \frac{x^2+6x+9+4x}{(x-1)(x+3)} = \frac{x^2+10x+9}{(x-1)(x+3)} \]
Căutăm două numere cu produsul \(9\) și suma \(10\): sunt \(1\) și \(9\).
\[ x^2+10x+9 = (x+1)(x+9) \]
\[ E(x) = \frac{(x+1)(x+9)}{(x-1)(x+3)} : \frac{x+9}{x-1} = \frac{(x+1)(x+9)}{(x-1)(x+3)} \cdot \frac{x-1}{x+9} \]
Simplificăm \((x-1)\) și \((x+9)\):
\[ E(x) = \frac{x+1}{x+3} \]
\(E(3) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}, \quad E(4) = \dfrac{5}{7}, \quad E(5) = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}, \quad E(6) = \dfrac{7}{9}\)
\[ P = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{7}{9} = \frac{2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 7}{3 \cdot 7 \cdot 4 \cdot 9} \]
Simplificăm factorii comuni \(3\) și \(7\):
\[ P = \frac{2 \cdot 5}{4 \cdot 9} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18} \]
\[ T = \sqrt{90 \cdot \frac{5}{18}} = \sqrt{\frac{90 \cdot 5}{18}} = \sqrt{\frac{450}{18}} = \sqrt{25} = 5 \]
Calculezi \((x-1)(x+3)\) și obții direct \(x^2+2x-3\). Nu ai nevoie de niciun alt artificiu.
Amplifici \(\dfrac{x+3}{x-1}\) cu \((x+3)\) — nu cu \((x+1)!\) — pentru a obține numitorul comun.
Caută două numere cu produsul \(9\) și suma \(10\): perechea \(1\) și \(9\) funcționează. Factorul \((x+9)\) se simplifică cu numitorul din dreapta împărțirii.
Factorii \(3\) și \(7\) apar atât la numărător, cât și la numitor. Simplificarea lor duce rapid la \(\dfrac{5}{18}\).
Toate valorile sunt pozitive și diferite de valorile excluse, deci toate sunt admise în expresia \(E(x)\).