Profesor de Matematică - Elena Micu
Se consideră expresia \[ E(x) = \left(\frac{1}{x^2-4} + \frac{1}{x+2}\right) : \frac{1}{x^3-4x}, \] unde \(x\) este număr real, \(x \neq 0\), \(x \neq -2\) și \(x \neq 2\).
\(x \in \mathbb{R}\), \(x \neq 0\), \(x \neq -2\), \(x \neq 2\).
Observație: \(x^2-4 = (x-2)(x+2)\) — diferență de pătrate.
Observație: \(x^3-4x = x(x^2-4) = x(x-2)(x+2)\).
\(x^2-4 = (x-2)(x+2)\)
Numitor comun: \((x-2)(x+2)\).
Amplificăm \(\dfrac{1}{x+2}\) cu \((x-2)\):
\[ \frac{1}{(x-2)(x+2)} + \frac{x-2}{(x+2)(x-2)} \]
\[ \frac{1 + (x-2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{x-1}{(x+2)(x-2)} \]
\[ E(x) = \frac{x-1}{(x-2)(x+2)} : \frac{1}{x^3-4x} = \frac{x-1}{(x-2)(x+2)} \cdot x(x-2)(x+2) \]
Simplificăm \((x-2)(x+2)\) de la numărător cu numitorul:
\[ E(x) = x(x-1) = x^2-x \]
\[ E(\sqrt{2}-1) = (\sqrt{2}-1)\bigl((\sqrt{2}-1)-1\bigr) = (\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-2) \]
\[ = 2 - 2\sqrt{2} - \sqrt{2} + 2 = 4 - 3\sqrt{2} \]
\[ E(\sqrt{2}+1) = (\sqrt{2}+1)\bigl((\sqrt{2}+1)-1\bigr) = (\sqrt{2}+1)\cdot\sqrt{2} \]
\[ = 2 + \sqrt{2} \]
\[ N = (4-3\sqrt{2}) + 3(2+\sqrt{2}) = 4-3\sqrt{2}+6+3\sqrt{2} = 10 \]
Aceasta este cheia descompunerii numitorului și aflării numitorului comun pentru suma fracțiilor.
Împărțirea la \(\dfrac{1}{x(x-2)(x+2)}\) devine înmulțire cu \(x(x-2)(x+2)\), permițând simplificarea integrală a numitorului.
Nu mai avem fracții — aplicăm formula direct pentru \(x = \sqrt{2}-1\) și \(x = \sqrt{2}+1\).
\(-3\sqrt{2}\) din \(E(\sqrt{2}-1)\) și \(+3\sqrt{2}\) din \(3 \cdot E(\sqrt{2}+1)\) se reduc — rămâne \(4+6=10 \in \mathbb{N}\).