Profesor de Matematică - Elena Micu
Se consideră expresia \[ E(x) = \left(\frac{2}{x-3} - \frac{3}{x} + \frac{2}{x+3}\right) : \frac{1}{x^2-3x}, \] unde \(x\) este număr real, \(x \neq -3\), \(x \neq 0\) și \(x \neq 3\).
\(x \in \mathbb{R}\), \(x \neq -3\), \(x \neq 0\), \(x \neq 3\).
Observație: \(x^2-3x = x(x-3)\) — numitorul fracției din dreapta împărțirii.
Numitor comun: \(x(x-3)(x+3)\)
\(\dfrac{2}{x-3}\) se amplifică cu \(x(x+3)\) → \(2x(x+3)\)
\(\dfrac{3}{x}\) se amplifică cu \((x-3)(x+3) = x^2-9\) → \(3(x^2-9)\)
\(\dfrac{2}{x+3}\) se amplifică cu \(x(x-3)\) → \(2x(x-3)\)
\[ 2x(x+3) - 3(x^2-9) + 2x(x-3) \] \[ = 2x^2+6x - 3x^2+27 + 2x^2-6x \] \[ = (2x^2-3x^2+2x^2) + (6x-6x) + 27 = x^2+27 \]
\[ E(x) = \frac{x^2+27}{x(x-3)(x+3)} : \frac{1}{x^2-3x} = \frac{x^2+27}{x(x-3)(x+3)} \cdot x(x-3) \]
Simplificăm \(x\) și \((x-3)\) de la numărător cu numitorul:
\[ E(x) = \frac{x^2+27}{x+3} \]
\[ \frac{n^2+27}{n+3} > 6 \]
Deoarece \(n \in \mathbb{N}\) și \(n \neq 0\), avem \(n \geq 1\), deci \(n+3 \geq 4 > 0\).
Înmulțim ambii membri cu \((n+3) > 0\) (sensul inegalității nu se schimbă):
\[ n^2+27 > 6(n+3) = 6n+18 \]
\[ n^2+27 > 6n+18 \;\iff\; n^2-6n+9 > 0 \;\iff\; (n-3)^2 > 0 \]
Deoarece \(n \neq 3\), avem \(n-3 \neq 0\), deci \((n-3)^2 > 0\). ✅
Cei trei numitori sunt \(x-3\), \(x\), \(x+3\) — fără factori comuni. Numitorul comun este direct produsul lor: \(x(x-3)(x+3)\).
Împărțirea la \(\dfrac{1}{x(x-3)}\) devine înmulțire cu \(x(x-3)\), permițând simplificarea cu numitorul \(x(x-3)(x+3)\).
\(E(n)>6 \iff n^2-6n+9>0 \iff (n-3)^2>0\). Recunoașterea trinomului ca pătrat perfect este cheia rezolvării.
Poți înmulți ambii membri ai inegalității cu \(n+3\) fără a schimba sensul numai dacă argumentezi că \(n+3 > 0\). Deoarece \(n \in \mathbb{N}\) și \(n \neq 0\), avem \(n \geq 1\), deci \(n+3 \geq 4 > 0\).