Profesor de Matematică - Elena Micu
Se consideră expresia \[ E(x) = \left(\frac{x-1}{x+1} + \frac{x+1}{x-1} - 2\right) : \frac{4}{x^2+x-2}, \] unde \(x\) este număr real, \(x \neq -2\), \(x \neq -1\) și \(x \neq 1\).
\(x \in \mathbb{R}\), \(x \neq -2\), \(x \neq -1\), \(x \neq 1\).
Observație: \(x^2-1 = (x-1)(x+1)\) — numitorul comun al parantezei.
Observație: \(x^2+x-2 = (x-1)(x+2)\) [din a)] — numitorul al doilea.
\[ (x-1)(x+2) = x^2 + 2x - x - 2 = x^2 + x - 2 \]
\[ \frac{x-1}{x+1}+\frac{x+1}{x-1}-2 = \frac{(x-1)^2+(x+1)^2-2(x+1)(x-1)}{x^2-1} \]
\[ = \frac{x^2-2x+1\;+\;x^2+2x+1\;-\;2(x^2-1)}{x^2-1} = \frac{2x^2+2-2x^2+2}{x^2-1} = \frac{4}{x^2-1} \]
\[ E(x) = \frac{4}{x^2-1} : \frac{4}{x^2+x-2} = \frac{4}{x^2-1} \cdot \frac{x^2+x-2}{4} = \frac{x^2+x-2}{x^2-1} \]
\[ E(x) = \frac{(x-1)(x+2)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x+2}{x+1} \]
\(E(2)=\dfrac{4}{3},\quad E(3)=\dfrac{5}{4},\quad E(4)=\dfrac{6}{5},\quad \ldots,\quad E(9)=\dfrac{11}{10},\quad E(10)=\dfrac{12}{11}\)
\[ P = \frac{4}{3}\cdot\frac{5}{4}\cdot\frac{6}{5}\cdots\frac{11}{10}\cdot\frac{12}{11} = \frac{12}{3} = 4 \]
Fiecare numărător se simplifică cu numitorul termenului următor (produs telescopic).
\[ N = \sqrt{P} = \sqrt{4} = 2 \]
Suma cu 3 termeni \(\dfrac{x-1}{x+1}+\dfrac{x+1}{x-1}-2\) se simplifică enorm aducând totul la \((x-1)(x+1)\). Termenii \(x^2\) se anulează și rămâne \(\dfrac{4}{x^2-1}\).
Identitatea \(x^2+x-2=(x-1)(x+2)\) permite simplificarea cu \((x-1)\) din numitor și obții forma simplă \(E(x)=\dfrac{x+2}{x+1}\).
\(\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{5}{4}\cdot\dfrac{6}{5}\cdots\dfrac{12}{11} = \dfrac{12}{3} = 4\). Numărătorul fiecărei fracții este egal cu numitorul fracției următoare — se simplifică în lanț.
Condițiile de existență: \(x \neq -2, -1, 1\). Toate valorile din produs sunt pozitive și \(\geq 2\), deci toate sunt admise.