Profesor de Matematică - Elena Micu
Se consideră expresia \[ E(x) = \left(\frac{x+4}{x-3} - \frac{x-3}{x+4} + \frac{49}{x^2+x-12}\right) : \frac{7}{x-3}, \] unde \(x\) este număr real, \(x \neq -4\) și \(x \neq 3\).
\(x \in \mathbb{R}\), \(x \neq -4\), \(x \neq 3\).
Observație: \(x^2+x-12 = (x-3)(x+4)\) [din a)] — acesta este numitorul comun al parantezei.
\[ (x-3)(x+4) = x^2 + 4x - 3x - 12 = x^2 + x - 12 \]
\[ \frac{x+4}{x-3} - \frac{x-3}{x+4} + \frac{49}{(x-3)(x+4)} = \frac{(x+4)^2 - (x-3)^2 + 49}{(x-3)(x+4)} \]
\[ (x+4)^2 - (x-3)^2 + 49 = (x^2+8x+16) - (x^2-6x+9) + 49 = 14x + 56 = 14(x+4) \]
Împărțirea la \(\dfrac{7}{x-3}\) devine înmulțire cu \(\dfrac{x-3}{7}\):
\[ E(x) = \frac{14(x+4)}{(x-3)(x+4)} \cdot \frac{x-3}{7} \]
Simplificăm \((x+4)\) și \((x-3)\):
\[ E(x) = \frac{14}{7} = 2 \]
Valorile \(x \in \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16\}\) sunt toate admise (≠ −4 și ≠ 3).
Numărul de termeni: \(\dfrac{16-2}{2} + 1 = 8\).
\[ E(2)+E(4)+\cdots+E(16) = \underbrace{2+2+\cdots+2}_{8 \text{ ori}} = 16 \]
\[ N = \sqrt{16} = 4 \]
\((x+4)^2 - (x-3)^2\) se calculează dezvoltând ambele pătrate. Termenii \(x^2\) se anulează, iar rezultatul este o expresie liniară în \(x\). Alternativ, formula \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) dă direct \((7)(2x+1)\) — același rezultat.
Odată ce ai arătat că \(E(x) = 2\) pentru orice \(x\) admis, suma \(E(2)+E(4)+\cdots+E(16)\) este pur și simplu \(8 \times 2 = 16\). Nu mai trebuie calculat nimic altceva.
Șirul \(2, 4, 6, \ldots, 16\) are rația \(r = 2\). Numărul de termeni: \(\dfrac{a_n - a_1}{r} + 1 = \dfrac{16-2}{2}+1 = 8\). Nu uita să adaugi \(+1\)!
Înainte de a calcula \(E(2), E(4), \ldots\), verifică că niciunul dintre aceste valori nu este −4 sau 3. Aici toate valorile din șir sunt pozitive și diferite de 3, deci toate sunt admise.
\(\sqrt{n} \in \mathbb{N}\) numai dacă \(n\) este un pătrat perfect (\(0, 1, 4, 9, 16, 25, \ldots\)). Asigură-te că suma din radical iese exact un pătrat perfect — nu lăsa calculul la aproximări.