Profesor de Matematică - Elena Micu
Se consideră expresia \[ E(x) = \left(\frac{1}{x^2-3x+2} + \frac{1}{1-x}\right) : \frac{x^2-6x+9}{x-1}, \] unde \(x\) este număr real, \(x \neq 1\), \(x \neq 2\) și \(x \neq 3\).
\(x \in \mathbb{R}\), \(x \neq 1\), \(x \neq 2\), \(x \neq 3\).
Observații: \(x^2-3x+2 = (x-2)(x-1)\) [din a)], \(\; x^2-6x+9 = (x-3)^2\), \(\; 1-x = -(x-1)\).
\[ (x-2)(x-1) = x^2 - x - 2x + 2 = x^2 - 3x + 2 \]
Folosim \(1-x = -(x-1)\):
\[ \frac{1}{(x-2)(x-1)} + \frac{1}{1-x} = \frac{1}{(x-2)(x-1)} - \frac{1}{x-1} = \frac{1 - (x-2)}{(x-2)(x-1)} = \frac{3-x}{(x-2)(x-1)} \]
Folosim \(x^2-6x+9 = (x-3)^2\) și înmulțim cu inversul împărțitorului:
\[ E(x) = \frac{3-x}{(x-2)(x-1)} \cdot \frac{x-1}{(x-3)^2} = \frac{-(x-3)}{(x-2)(x-3)^2} = -\frac{1}{(x-2)(x-3)} \]
\[ E(x) = -\frac{1}{(x-2)(x-3)} = \frac{(x-3)-(x-2)}{(x-2)(x-3)} = \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-3} \]
\[ T = E(4)+E(5)+E(6)+E(7) \] \[ = \left(\frac{1}{2}-1\right) + \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{5}-\frac{1}{4}\right) \] \[ = -1 + \frac{1}{5} = -\frac{4}{5} = -0{,}8 \]
Este suficient să comparăm \(\dfrac{4}{5}\) cu \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), adică \(8\) cu \(5\sqrt{2}\), deci \(\sqrt{64}\) cu \(\sqrt{50}\).
Deoarece \(64 > 50\), avem \(\sqrt{64} > \sqrt{50}\), deci \(\dfrac{4}{5} > \dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
Prin urmare \(-\dfrac{4}{5} < -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), adică \(T < -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\). ✅
Când un numitor este opusul altuia, înlocuiește \(\frac{1}{1-x} = -\frac{1}{x-1}\). Această substituție simplifică imediat aducerea la numitor comun.
Dacă \(E(x) = \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-3}\), suma \(E(4)+E(5)+\ldots\) este telescopică — rămân doar primul și ultimul termen. Scrie toți termenii înainte de a simplifica.
Pentru a compara \(\frac{4}{5}\) cu \(\frac{\sqrt{2}}{2}\): înmulțești ambii cu \(10\) → compari \(8\) cu \(5\sqrt{2}\) → ridici la pătrat → \(64\) vs \(50\). Mult mai simplu decât calculul zecimal.
\(-\frac{1}{(x-2)(x-3)}\) se poate scrie ca \(\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-3}\) deoarece \((x-3)-(x-2) = -1\). Identifică această structură și profită de ea.
Dacă \(\frac{4}{5} > \frac{\sqrt{2}}{2}\), atunci \(-\frac{4}{5} < -\frac{\sqrt{2}}{2}\). Semnul inegalității se inversează când înmulțești cu \(-1\).