Profesor de Matematică - Elena Micu
Se consideră expresia \[ E(x) = \frac{3}{x^2+6x+9} \cdot \frac{x}{x-3} : \left(\frac{1}{x+3} + \frac{3}{x^2-9}\right), \] unde \(x\) este număr real, \(x \neq -3\), \(x \neq 0\) și \(x \neq 3\).
\(x \in \mathbb{R}\), \(x \neq -3\), \(x \neq 0\), \(x \neq 3\).
Observație cheie: \(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\) și \(x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2\).
\[ x^2 - 9 = (x-3)(x+3) \]
Numitorul comun al celor două fracții este \((x-3)(x+3)\).
\[ \frac{1}{x+3} + \frac{3}{x^2-9} = \frac{1}{x+3} + \frac{3}{(x-3)(x+3)} = \frac{x-3}{(x-3)(x+3)} + \frac{3}{(x-3)(x+3)} \] \[ = \frac{(x-3)+3}{(x-3)(x+3)} = \frac{x}{(x-3)(x+3)} \]
\[ E(x) = \frac{3}{(x+3)^2} \cdot \frac{x}{x-3} : \frac{x}{(x-3)(x+3)} \]
Împărțirea la o fracție se înlocuiește cu înmulțirea cu inversul ei:
\[ E(x) = \frac{3}{(x+3)^2} \cdot \frac{x}{x-3} \cdot \frac{(x-3)(x+3)}{x} \]
Simplificăm \(x\) (cu \(x \neq 0\)) și \((x-3)\) (cu \(x \neq 3\)):
\[ E(x) = \frac{3 \cdot (x+3)}{(x+3)^2} = \frac{3}{x+3} \]
\[ \frac{1}{E(n)} = \frac{n+3}{3}, \qquad \frac{1}{E(n+1)} = \frac{n+4}{3}, \qquad \frac{1}{E(n+2)} = \frac{n+5}{3} \]
\[ N = \frac{n+3}{3} + \frac{n+4}{3} + \frac{n+5}{3} = \frac{(n+3)+(n+4)+(n+5)}{3} = \frac{3n+12}{3} = n + 4 \]
Deoarece \(n\) este număr natural cu \(n > 3\), rezultă că \(n + 4\) este număr natural. ✅
Înainte de a aduna fracții, factorizează toți numitorii. Formula \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) apare frecvent: \(x^2-9 = (x-3)(x+3)\), \(x^2+6x+9 = (x+3)^2\).
Valorile excluse (\(x \neq -3\), \(x \neq 0\), \(x \neq 3\)) se identifică din toți numitorii expresiei originale. Scrierea lor la început arată că ai controlul problemei.
Punctul a) nu este un exercițiu separat — este unealta pentru b). Recunoaște că suma din paranteză la împărțire este exact expresia simplificată la a) și înlocuiește direct.
\(A : \dfrac{p}{q} = A \cdot \dfrac{q}{p}\). Aplică această regulă și simplifică factorii comuni înainte de a înmulți — calculul devine mult mai simplu.
Dacă \(E(x) = \dfrac{3}{x+3}\), atunci \(\dfrac{1}{E(x)} = \dfrac{x+3}{3}\). Forma inversului este mai simplă și mai ușor de adunat.
Poți simplifica \(x\) și \((x-3)\) doar pentru că valorile \(x = 0\) și \(x = 3\) sunt excluse din start. Nu uita să menționezi condiția când simplificarești.