Lecția 2: Ne jucăm și gândim! — Principiul cutiei
II. Principii și metode de rezolvare a problemelor de matematică · Clasa a V-a
Există o categorie de probleme în care trebuie să demonstrăm că cel puțin două obiecte dintr-o colecție au o proprietate comună. De multe ori, demonstrarea directă pare dificilă — nu știm care sunt acele obiecte. Principiul cutiei ne spune că, în anumite condiții, existența lor este garantată, indiferent de modul în care sunt aranjate obiectele.
Exemplu introductiv
Într-un penar se află $7$ pixuri de $6$ culori diferite, amestecate. Scoatem pixuri pe rând, fără să privim. Putem fi siguri că, după ce am scos $7$ pixuri, cel puțin $2$ sunt de aceeași culoare?
Imaginați-vă $6$ cutii, câte una pentru fiecare culoare. Distribuim cele $7$ pixuri în aceste $6$ cutii. Dacă fiecare cutie ar conține cel mult $1$ pix, am putea distribui cel mult $6$ pixuri. Dar avem $7 > 6$, deci cel puțin o cutie primește $2$ sau mai multe pixuri. Garantat!
PRINCIPIUL CUTIEI
Principiul cutiei — forma de bază
Dacă distribui $n + 1$ obiecte în $n$ cutii, atunci cel puțin una dintre cutii va conține cel puțin $2$ obiecte.
Cu alte cuvinte: dacă avem mai multe obiecte decât cutii, nu le putem distribui câte cel mult una per cutie — undeva apare „înghesuiala".
Principiul cutiei — forma generalizată
Dacă numărul de obiecte este mai mare decât numărul de cutii, putem afla câte obiecte sunt garantate în cea mai aglomerată cutie folosind câtul împărțirii.
Cum calculăm? Împărțim numărul de obiecte ($m$) la numărul de cutii ($n$) și obținem câtul $c$ și restul $r$:
- Dacă restul este zero: cel puțin o cutie conține cel puțin $c$ obiecte.
- Dacă restul este nenul: cel puțin o cutie conține cel puțin $c + 1$ obiecte.
Exemplu: $30$ elevi, $4$ anotimpuri. $30 : 4 = 7$ rest $2$. Restul este nenul, deci cel puțin un anotimp are cel puțin $7 + 1 = 8$ elevi.
Cum aplicăm în practică? Stabiliți care sunt „cutiile" (categoriile) și care sunt „obiectele" (elementele distribuite). Numărați: câte cutii ($n$) și câte obiecte ($m$). Dacă $m > n$, concluzia urmează.
Exemple rezolvate
E1) Creioane de culori diferite
Într-un penar avem creioane de $5$ culori diferite, amestecate. Câte creioane trebuie să scoatem (fără să privim) pentru a fi siguri că avem cel puțin $2$ de aceeași culoare?
Formulă generală: pentru a garanta cel puțin $2$ obiecte din aceeași categorie, când există $n$ categorii, trebuie să scoatem $n + 1$ obiecte.
E2) Elevii și lunile anului
Arătați că într-o clasă de $13$ elevi, cel puțin $2$ elevi s-au născut în aceeași lună a anului.
E3) Numere de o cifră
Scriem $11$ numere naturale, fiecare cuprins între $0$ și $9$. Arătați că cel puțin $2$ dintre ele sunt egale.
E4) Câte bile pentru a garanta 3 de aceeași culoare?
Avem bile de $4$ culori diferite într-o urnă. Câte bile trebuie să scoatem (fără să privim) pentru a fi siguri că avem cel puțin $3$ bile de aceeași culoare?
Formulă generală: pentru a garanta cel puțin $k$ obiecte dintr-o categorie, când există $n$ categorii, trebuie să scoatem $n \cdot (k-1) + 1$ obiecte.
E5) Cărți de joc
Un pachet de cărți are $4$ culori: ♠ ♥ ♦ ♣. Câte cărți trebuie să tragem pentru a fi siguri că avem cel puțin $2$ de aceeași culoare? Dar pentru cel puțin $5$ de aceeași culoare?
Cel mai rău caz: câte $1$ din fiecare culoare ($4$ cărți); a $5$-a repetă o culoare.
Cel mai rău caz: câte $4$ din fiecare culoare ($16$ cărți); a $17$-a repetă și creează un grup de $5$.
E6) Zilele săptămânii
Arătați că dintr-un grup de $8$ persoane, cel puțin $2$ s-au născut în aceeași zi a săptămânii.
E7) Clasa și anotimpurile
O clasă are $30$ de elevi. Arătați că cel puțin $8$ elevi s-au născut în același anotimp.
Verificare: $30 : 4 = 7$ rest $2$, deci câtul este $7$, iar deoarece există rest, cel puțin un anotimp are $7 + 1 = 8$ elevi.
Atenție!
Principiul cutiei garantează existența, nu ne spune care cutie este „plină". Nu putem ști dinainte care elevi s-au născut în aceeași lună — știm doar că astfel de elevi există cu certitudine.
Câte obiecte să scot pentru a garanta cel puțin 2 de același fel (cu $n$ categorii)?
Răspuns: $n + 1$ obiecte | Ex: $5$ culori → scot $6$ creioane.
Câte obiecte să scot pentru a garanta cel puțin $k$ de același fel (cu $n$ categorii)?
Răspuns: $n \cdot (k-1) + 1$ obiecte | Ex: $4$ culori, vreau $3$ → $4 \times 2 + 1 = 9$ bile.
Câte obiecte sunt garantate în cutia cea mai aglomerată ($m$ obiecte, $n$ cutii)?
Calculez $m : n$ și obțin câtul $c$ și restul $r$:
— dacă restul este zero: cel puțin o cutie are $c$ obiecte (ex: $12 : 4 = 3$ rest $0$ → cel puțin $3$)
— dacă restul este nenul: cel puțin o cutie are $c + 1$ obiecte (ex: $30 : 4 = 7$ rest $2$ → cel puțin $8$)
Temă (de realizat pe caietul de clasă)
Vă rog să scrieți și enunțul problemelor propuse spre rezolvare!
1. Câte carioci trebuie să scoatem dintr-un penar cu carioci de $8$ culori pentru a fi siguri că avem cel puțin $2$ de aceeași culoare?
2. Arătați că dintr-un grup de $10$ copii, cel puțin $2$ s-au născut în același anotimp.
Indiciu: există $4$ anotimpuri; $10 > 4$.
3. Câte bile trebuie să scoatem dintr-o urnă cu bile de $6$ culori pentru a fi siguri că avem cel puțin $4$ bile de aceeași culoare?
Indiciu: folosește formula $n \cdot (k-1) + 1$ cu $n = 6$ și $k = 4$.
4. Arătați că dacă scriem $366$ numere naturale, fiecare cuprins între $1$ și $365$, atunci cel puțin $2$ dintre ele sunt egale.
5. Avem $25$ de elevi într-o clasă. Arătați că cel puțin $3$ dintre ei s-au născut în același trimestru al anului. (Un an are $4$ trimestre.)
Indiciu: dacă fiecare trimestru ar avea cel mult $2$ elevi, câți elevi ar fi în total?
6. (Provocare) O cutie conține creioane de $7$ culori. Câte creioane trebuie să scoatem pentru a fi siguri că avem cel puțin $3$ creioane de aceeași culoare și cel puțin $2$ creioane de altă culoare?
Indiciu: gândești pe cazuri: când e satisfăcută prima condiție, e satisfăcută automat și a doua?
Indicații pentru temă
1. $8 + 1 = 9$ carioci.
2. Există $4$ anotimpuri (cutii) și $10$ copii (obiecte); $10 > 4$, deci cel puțin o cutie are $\geq 2$ copii.
3. $6 \times (4-1) + 1 = 6 \times 3 + 1 = 19$ bile.
4. Există $365$ valori posibile (cutii) și $366$ numere (obiecte); $366 > 365 \Rightarrow$ cel puțin $2$ egale.
5. Dacă fiecare trimestru ar avea $\leq 2$ elevi, total $\leq 8 < 25$. Contradicție. Deci cel puțin un trimestru are $\geq 3$ elevi.
6. Cel mai rău caz pentru „cel puțin $3$ dintr-o culoare": câte $2$ din fiecare = $14$ creioane; al $15$-lea garantează $3$ dintr-o culoare. La $15$ creioane cu $7$ culori, prin principiul cutiei avem deja cel puțin $\lceil 15/7 \rceil = 3$ dintr-o culoare și, deoarece $15 > 7$, obligatoriu există cel puțin $2$ culori distincte reprezentate. Răspuns: $\mathbf{15}$ creioane.