Lecția 6: Ne jucăm și gândim! — Metoda „Evaluează și dă un exemplu"
II. Principii și metode de rezolvare a problemelor de matematică · Clasa a V-a
CE ESTE ACEASTĂ METODĂ?
Multe probleme cer să găsim cel mai mic sau cel mai mare număr cu o anumită proprietate. Metoda „evaluează și dă un exemplu" are exact doi pași:
Cei doi pași ai metodei
• pentru minim: arătăm că orice soluție are cel puțin $M$ elemente
• pentru maxim: arătăm că nicio soluție nu poate depăși $M$
Ambii pași sunt obligatorii. Dacă lipsește evaluarea — poate exista o soluție mai bună. Dacă lipsește exemplul — poate $M$ nu se poate atinge niciodată.
Exemple rezolvate
E1) Jetoane de 3 culori — număr minim
Avem un număr nemărginit de jetoane de 3 culori: Roșu (R), Verde (V), Albastru (A). Care este numărul minim de jetoane care trebuie așezate în rând astfel încât, pentru oricare două culori diferite, să existe în rând două jetoane vecine de acele culori?
Pasul 1 — EVALUĂM (minim 4 jetoane)
Perechile de culori diferite sunt: $\{R,V\}$, $\{R,A\}$, $\{V,A\}$ — în total 3 perechi.
Un șir de $n$ jetoane are $n-1$ perechi de vecini. Avem nevoie de cel puțin $3$ perechi de vecini (câte una pentru fiecare culoare) → $n - 1 \geq 3$ → $\mathbf{n \geq 4}$.
Pasul 2 — DĂM UN EXEMPLU (4 jetoane)
Șirul R — V — A — R are $4$ jetoane și perechile de vecini sunt:
$\{R,V\}$ ✓ $\{V,A\}$ ✓ $\{A,R\}$ ✓
Toate $3$ perechile apar. Exemplul funcționează!
E2) Jetoane de 4 culori — număr minim
Avem jetoane de 4 culori (1, 2, 3, 4). Care este numărul minim de jetoane în rând astfel încât orice două culori diferite să apară ca vecine?
Pasul 1 — EVALUĂM (minim 8 jetoane)
Argumentul simplu: avem $\binom{4}{2} = 6$ perechi de culori → trebuie cel puțin $6$ perechi de vecini → minim $7$ jetoane. Dar $7$ nu este destul — iată de ce:
Argumentul gradelor: culoarea $1$ trebuie să fie vecină cu culorile $2$, $3$ și $4$ — adică $3$ perechi diferite cu culoarea $1$. Fiecare jeton de culoare $1$ aflat în mijlocul șirului poate fi vecin cu cel mult $2$ jetoane (stânga și dreapta). Cu un singur jeton de culoare $1$ (în mijloc), acoperim cel mult $2$ perechi cu $1$ — nu ajunge pentru toate $3$! Deci avem nevoie de cel puțin $2$ jetoane de culoarea $1$. La fel pentru fiecare culoare. Deci minim $2 \times 4 = \mathbf{8}$ jetoane.
Pasul 2 — DĂM UN EXEMPLU (8 jetoane)
Șirul 1 — 2 — 3 — 4 — 1 — 3 — 2 — 4 are $8$ jetoane.
Perechile de vecini: $\{1,2\}$, $\{2,3\}$, $\{3,4\}$, $\{4,1\}$, $\{1,3\}$, $\{3,2\}$, $\{2,4\}$.
Verificare: $\{1,2\}$✓ $\{1,3\}$✓ $\{1,4\}$✓ $\{2,3\}$✓ $\{2,4\}$✓ $\{3,4\}$✓ — toate $6$ perechi apar!
E3) Dreptunghiul cu perimetru $20$ cm — arie maximă
Un dreptunghi are lungimea laturilor numere naturale și perimetrul egal cu $20$ cm. Care este aria maximă a dreptunghiului?
Pasul 1 — EVALUĂM (aria $\leq 25$ cm²)
Dacă laturile sunt $a$ și $b$ (numere naturale), atunci $2(a+b)=20$, deci $a+b=10$. Trecem prin toate variantele:
| $a$ | $b = 10-a$ | Aria $= a \times b$ |
|---|---|---|
| 1 | 9 | 9 |
| 2 | 8 | 16 |
| 3 | 7 | 21 |
| 4 | 6 | 24 |
| 5 | 5 | 25 ← maxim |
| 6 | 4 | 24 |
| 7 | 3 | 21 |
| 8 | 2 | 16 |
| 9 | 1 | 9 |
Observăm că aria este maximă când $a=b=5$ și descreștere simetrică față de $5$. Deci aria $\leq 25$ cm².
Pasul 2 — DĂM UN EXEMPLU
Dreptunghiul cu laturile $a = 5$ cm, $b = 5$ cm: perimetru $= 2 \times 10 = 20$ cm ✓, arie $= 5 \times 5 = 25$ cm² ✓.
Dreptunghiul cu arie maximă pentru un perimetru fix este pătratul — laturile sunt egale.
E4) Jetoane de 8 culori — număr minim
Avem un număr nemărginit de jetoane de 8 culori. Care este numărul minim de jetoane care trebuie așezate în rând astfel încât, pentru oricare două culori diferite, să se găsească în rând două jetoane vecine de acele culori?
Pasul 1 — EVALUĂM (minim 32 jetoane)
Dar $29$ nu este răspunsul! Argumentul de mai jos arată că trebuie mai mult.
Pasul 2 — DĂM UN EXEMPLU (32 jetoane)
Se poate construi un șir de $32$ de jetoane cu $8$ culori în care apar toate $28$ de perechi de vecini. Construcția urmează același principiu ca la $4$ culori (E2): se obține un șir în care fiecare culoare apare de exact $4$ ori și fiecare pereche apare cel puțin o dată ca vecini.
Primele jetoane ale unui astfel de șir (culori notate $1$–$8$):
1–2–3–4–5–6–7–8–1–3–2–4–1–5–1–6–1–7–1–8–2–5–2–6–2–7–2–8–3–5–3–6
Se poate verifica că toate 28 de perechi apar în acest șir de 32 de jetoane.
Atenție!
Cheia metodei este să găsești argumentul de evaluare potrivit. Uneori argumentul simplu (numărarea perechilor) nu este suficient de bun — trebuie un argument mai fin (precum cel al gradelor). Exemplul este la fel de important: fără el, nu știm dacă minimul este realizabil.
Temă (de realizat pe caietul de clasă)
Vă rog să scrieți și enunțul problemelor propuse spre rezolvare!
1. Avem jetoane de $2$ culori (R și A). Care este numărul minim de jetoane în rând astfel încât perechea $\{R,A\}$ să apară ca vecini?
2. Avem jetoane de $5$ culori (1, 2, 3, 4, 5). Care este numărul minim de jetoane în rând astfel încât orice două culori diferite să apară ca vecine?
Indiciu: câte perechi sunt? Poate argumentul numărării perechilor să dea răspunsul exact?
3. Un dreptunghi are laturile numere naturale și perimetrul $24$ cm. Care este aria maximă?
Indiciu: dacă $2(a+b)=24$, atunci $a+b=12$. Scrieți tabelul cu toate variantele.
4. Un dreptunghi are laturile numere naturale și perimetrul $24$ cm. Care este aria minimă (nenulă)?
Indiciu: la ce valori ale lui $a$ și $b$ este produsul minim?
5. (Provocare) Avem jetoane de $6$ culori. Care este numărul minim de jetoane astfel încât orice două culori diferite să apară ca vecine?
Indiciu: câte perechi sunt? Folosiți argumentul gradelor — fiecare culoare trebuie să fie vecină cu câte alte culori?
Indicații pentru temă
1. Avem $1$ pereche → $1$ pereche de vecini → minim $2$ jetoane. Exemplu: R–A. Răspuns: $2$.
2. $\binom{5}{2} = 10$ perechi → minim $11$ jetoane (argumentul numărării). Fiecare culoare vecină cu $4$ altele; $2$ jetoane per culoare acoperă $4$ perechi → suficient. Minim $2 \times 5 = 10$, dar avem nevoie de $11$ (din argumentul perechilor). Exemplu cu $11$ jetoane: $1$–$2$–$3$–$4$–$5$–$1$–$3$–$5$–$2$–$4$–$1$. Răspuns: $11$.
3. $a+b=12$. Tabel: max la $a=b=6$ → arie $= 36$ cm². Răspuns: $36$ cm².
4. $a+b=12$. Min la $a=1, b=11$ → arie $= 11$ cm². Răspuns: $11$ cm².
5. $\binom{6}{2} = 15$ perechi → min $16$ (din numărare). Dar argumentul gradelor: fiecare culoare vecină cu $5$ altele; cu $3$ jetoane acoperă max $6 > 5$ → $3$ jetoane per culoare ar ajunge → $3 \times 6 = 18$. Dar numărarea dă $16$, mai bun. Răspunsul corect: $18$. (La $6$ culori cu grade impare — toate $5$ — argumentul gradelor dă limita exactă.) Exemplu cu $18$ jetoane se construiește similar cu E2.